Cimientos del artista, dibujante y pintor: compendio de perspectiva lineal y aérea, sombras, espejos y refracción con las nociones necesarias de Geometría...

Eugenio Landesio de Turino

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Las láminas, para que salieran más adaptadas para la inteligencia de las demostraciones, fueron hechas por mis discípulos Luis Coto, José M. Velasco y Gregorio Dumaine, por estar bien enterados en la materia; las que ejecutaron bajo mi inmediata dirección y corrección verbal y aún práctica, en donde hubo menester. Las láminas ejecutadas por el primero son: la 6.ª, 14.ª, 19.ª, 20.ª, y 25.ª; por el segundo, desde la 1.ª a la 5.ª; la 7.ª y 8.ª; de la 11.ª a la 13.ª; de la 15.ª a la 18.ª; de la 21.ª a la 23.ª y la 28.ª; y por el tercero, la 9.ª, 10.ª, 24.ª, 26.ª y 27.ª

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Deseando el señor D. Urbano Fonseca, Director general de la Imperial Academia de S. Carlos, que esta obrita fuese impresa, dispuso sujetarla a la revisión de una persona sabia, a fin de que se corrigiesen las faltas de idioma que pudiesen haber en ella, por haber sido escrita en un idioma que no es el propio; esta molesta tarea fue encomendada al Señor Dr. D. José Ignacio Durán, director de la Escuela de Medicina, quien tuvo la cortés complacencia de indicármelas, no con la severidad de un censor, sino con los finos modales de un sincero y cariñoso amigo; por lo que creo un deber expresarle aquí mi gratitud y darle las más sentidas gracias.

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Dos clases se conocen de dibujo, y son: geométrico y perspectivo. El primero que se emplea para trazar las plantas, perfiles y cortes de los objetos, y del cual todo necesitan, no está sujeto a disminución perspectiva, manteniendo en sí sus dimensiones verdaderas, como si las percibiéramos, no por medio de los ojos, sino con el tacto. El segundo nos muestra los objetos o sitios del modo que suelen presentarse a nuestra vista; sean personajes, árboles, edificios, aguas, nubes, etc.; disminuyen sus dimensiones conforme se alejan de uno, y según su oblicuidad con los radios visuales, ocasionando lo que se llama escorzo.

Todo lo que existe en la naturaleza bajo forma visible, sea cual fuere la materia de que esté formado, la estación, hora, lugar en que se nos presente, cualquiera la luz que lo ilumine, con que abramos los ojos, y miremos, todo, sin excepción ninguna, está sujeto a las leyes inmutables de la óptica; es decir, a las de la perspectiva lineal y aérea, sombras, espejos y refracción. Según la postura, el diferente nivel, con relación al que mira, y su mayor o menor distancia se dibujan las formas de los objetos: la diferente situación del sol o de cualquiera otra luz natural o artificial, los ilumina de una u otra manera, proyectándoles sus sombras correspondientes, por medio de las cuales distinguimos los cuerpos y sus diferentes partes: los mismos se nos reproducen reflejándose en las superficies lúcidas según el ángulo de incidencia que hacen con ellas: los vemos romperse, doblarse y recogerse en sí mismos, penetrando en los cuerpos diáfanos, según el grado de oblicuidad y la dirección de los radios visuales con la superficie del trasparente;   —4→   finalmente la atmósfera les modifica la fuerza del claroscuro y colores, haciéndonos disfrutar más o menos según el grado de su pureza, de un hermoso y extenso horizonte. Claro está, que no solo es útil, para un pintor, el conocer y saber aplicar dichas leyes, sino necesario, indispensable.

No habiendo yo encontrado tratados que proporcionen conocimientos de un modo adecuado, tanto a la estrechez del tiempo en que el artista debe hacer estudios extensos y una práctica dificultosa, cuanto para no apagar el poético y fogoso entusiasmo de su imaginación, como sucede frecuentemente con explicaciones prolijas, me animé a escribir un tratado, que siendo breve, reuniese en sí todo lo indispensable al arte; correspondiendo de esta manera a la confianza con que me ha honrado la Academia de San Carlos, llamándome desde Roma para dirigir a los alumnos que se dedican a la pintura del paisaje y enseñar al mismo tiempo la perspectiva; lo acompañé a mayor claridad de 28 láminas y lo dividí en seis partes. Enseña la 1.ª lo puramente necesario de geometría para entender y practicar las operaciones que se hallan en el curso; sigue la 2.ª enseñando la perspectiva lineal: cómo se trazan las sombras la 3.ª: a encontrar los espejos la 4.ª: la 5.ª la refracción: acabando la 6.ª con la perspectiva aérea.

Estas nociones, que forman el verdadero y sólido cimiento del dibujante como del pintor, son las que ofrezco a la alabada academia en señal de mi distinguido aprecio; las que expuestas con pocas palabras y llanamente, podrán fácilmente adquirirse, si con empeñosa dedicación se aplican a ellas; con cuyas nociones fortalecidos, arrostrarán con acertada valentía los escollos que presenta este dificultosísimo cuanto bello y noble arte; serán con sus luminosos resultados, la honra y el adorno más hermoso de su patria, de la Academia en cuyo seno prosperaron, y viendo no frustrados mis celosos afanes, daré a Dios las gracias de haber conseguido el fin de mis deseos.

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1. La geometría es la ciencia que trata de la extensión, sus propiedades y relaciones.

2. La extensión es de tres maneras: la primera comprende sólo el largo y se llama línea; la segunda el largo y ancho y se le dice superficie; la tercera encierra en sí el largo, ancho y grueso y se denomina cuerpo o sólido.

3. La línea principia en un punto y acaba en otro. El punto tiene posición pero no extensión. La superficie termina en líneas; y los cuerpos en superficies.

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4. Lám. 1.ª—Líneas. Las líneas son de dos clases, rectas y curvas. La recta es la más breve que pueda trazarse de un punto a otro, como de A a B; curva es aquella que para ir de uno a otro punto desvía del camino más corto, como de C a D.

5. Cuando las líneas varían de dirección, o más bien, el agregado de más líneas, se le añade el adjetivo angulosa; y se dirá recto angulosa al agregado de rectas, como EF: al agregado de curvas como GH, curvo-angulosa; y mixto-angulosa, componiéndose de rectas y curvas, como KI.

6. Las líneas, con relación de unas a otras, toman también los nombres de perpendicular, oblicua y paralela; los de horizontal y vertical son independientes,

7. La perpendicular es la que encontrándose con otra no se pliega ni a uno ni a otro lado, como la ON con MÑ, y viceversa; diversamente es oblicua, como PQ con RS. Paralela es, cuando conserva con otra, hasta el infinito, igual distancia, como JL con AB.

8. Vertical es la que desde un punto cualquiera se dirige al centro de la tierra; y se verifica por medio de un hilo en reposo y colgando con un plomo a su extremidad inferior como TU; por eso se le dice también línea a plomo. Horizontal es la que puede aplicarse en la superficie de una agua tranquila tocándola igualmente en toda su extensión, como VZ, es decir, siéndole paralela. La vertical y la horizontal son entre ellas perpendiculares.

9. Lám. 1.ª—Ángulos. Cuando dos líneas de diferente dirección BA y CA se tocan en su extremidad, forman un ángulo; el punto de contacto A, se llama vértice, las líneas lados, y el intervalo entre ellas, abertura.

10. Los ángulos son de tres maneras, relativamente a las clases de líneas con que están formados: rectilíneos, curvilíneos y mixtilíneos. Rectilíneo, es el que está formado de rectas, como BAC; curvilíneo si se compone de curvas, como EDF; y mixtilíneo, si entran en su formación las dos precedentes, es decir, recta y curva; véase KGH.

11. Los ángulos se consideran también por sus aberturas, y toman diferentes nombres según la cantidad de grados de que constan las mismas. Se miden por medio de la circunferencia o periferia, la cual se divide en 360 parte llamadas grados; de la cual se usa la sola mitad NMO, conocida bajo el nombre de semicírculo. El ángulo que mide 90º como MPO, se llama recto; el que mide más, como NPR, se le dice obtuso; y agudo cuando mide menos, como RPO. Ángulo al centro, se dice de cualquiera como: MPO, que tenga, el vértice en P; y a NMO, ángulo a la periferia. Dos ángulos iguales MPO y NMO en una misma circunferencia, uno al centro y el otro a la periferia, el segundo contendrá un doble arco del primero.

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12. Es la superficie la parte exterior de los cuerpos.

13. Lám. 1.ª—Círculo. La superficie más simple y perfecta es la del círculo, la cual está formada de una curva CKF, que vuelve paralelamente alrededor de un punto llamado centro, y la línea, periferia o circunferencia.

l4. Una recta que de un punto de la circunferencia va al otro opuesto, pasando por el centro como CD, sé llama diámetro; y radio, si desde el centro llega a la circunferencia como AL. Una recta como EB, que desde un punto de la circunferencia llegue a otro de la misma, sin tocar el centro, es una cuerda, y la curva que la encierra un arco. Una recta como AF que desde el centro llegue a la cuerda, siéndole perpendicular, es una normal. Cuando una recta no puede tocar la circunferencia, más que un sólo punto, como GH, es una tangente; y secante si la corta como AG. Una recta que desde la circunferencia vaya perpendicular al radio, es un seno, cómo KI.

El espacio encerrado entre dos rectas paralelas que lleguen de uno a otro punto de la periferia, como BECD es una zona. La superficie comprehendida entre el arco y la cuerda, como EBF, se le dice segmento; y la entre dos radios y el arco, como EABF sector. Complemento se llama la parte que falta a un arco o ángulo para alcanzar los 90º; y a la parte de un ángulo o arco que falta para alcanzar los 180 grados llámase suplemento. A la cuarta parte de un círculo, como CFA, se le dice cuadrante.

15. Lám. 1.ª—Triángulos. Es el triángulo un espacio cerrado por tres líneas que se llaman lados. Esta figura puede considerarse por sus ángulos y por sus lados. Si por los ángulos será:

• 1º. Obtusángulo teniendo un ángulo obtuso, como GKH.
• 2º. Rectángulo si tiene uno recto, como DEF, los lados que lo forman se llaman catetos y el otro hipotenusa.
• 3º. Acutángulo, siendo todos agudos, como BAC.
• 4º. Equiángulo si todos sus ángulos son iguales.

Considerándolos por sus lados son:

• 1º. Equilátero ABC, que tiene todos sus lados iguales.
• 2º. Isósceles GKH, dos iguales.
• 3º. Escaleno DEF, todos desiguales. El lado en que descansa la figura se le puede decir base.

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16. Lám. 2.ª—Cuadriláteros. Toda figura formada de cuatro líneas se llama cuadrilátera; y cuando estas qué llamaremos lados, son paralelas, la figura, entonces, se puede llamar paralelogramo. La más perfecta entre ellas es el cuadrado, que tiene todos los lados iguales, y los ángulos rectos. Fig. A.

17. El rectángulo o cuadrilongo tiene todos los ángulos rectos y los lados opuestos iguales. Fig. B.

18. Se llama rombo cuando todos los lados son iguales y los ángulos contiguos desiguales. Fig. C.

19. Cuando solo los lados y ángulos opuestos son iguales, el paralelogramo, se llama romboide. Fig. D.

20. El trapecio tiene solo dos lados paralelos, Fig. E; y cuando ninguno de sus lados son paralelos es trapezoide. Fig. F.

21. Las líneas que desde un ángulo van al otro opuesto de cualquiera figura cuadrilátera se designan por diagonales, que sólo en el cuadrado y en el cuadrilongo son iguales.

22. Una figura terminada por más de cuatro líneas se llama polígono. Si está terminada por cinco líneas, se denomina pentágono; si por seis, exágono; si por siete, eptágono; si por ocho, octágono; si por nueve, eneágono; si por diez, decágono, endecágono si por once; y por doce, dodecágono. Cuando ocurre nombrar un polígono de más lados, se dice polígono de diez y seis, de veinte, de treinta lados.

23. Un polígono es regular cuando tiene iguales todos sus ángulos y sus lados, e irregular cuando le falta alguna de estas circunstancias.

24. El contorno exterior de un polígono u otra figura rectilínea, curvilínea o mixtilínea se nombra perímetro

25. Cuando el perímetro toca con sus ángulos la circunferencia, se le dice inscrito, y circunscrito si la tangenta con sus lados.

26. Lámina 2.ª—Sólidos. Se llama sólido cuando consta de las tres dimensiones: largo, ancho y grueso.

27. Todo sólido que se halla terminado por planos, se dice poliedro.

28. Guando el poliedro consta de cuatro caras se llama tetraedro; cuando   —9→   de seis exaedro, cuando de ocho octaedro, cuando de doce dodecaedro y cuando de veinte icosaedro.

29. Además se dividen los sólidos, en las clases que siguen.

Fig. 1.ª—1.º Esfera, que es el resaltado de la circunvolución de un semicírculo alrededor de su diámetro, el cual se vuelve eje.

30. Fig. 2.ª—2.º Cilindro que es la circunvolución de una recta alrededor de otra paralela, cuyas bases son dos círculos iguales.

31. Fig. 3.ª—3.º Se llama cono, la circunvolución de un triángulo en derredor de uno de sus lados, cuya base es un círculo y su cúspide un punto; la línea que desde la cúspide va al centro de la base, se llama eje del cono.

32. Fig. 4.ª—4.º Pirámide se llama un poliedro que tiene por base un triángulo, un cuadrado o cualquier polígono, y por cúspide un punto; en el cual todas sus caras, que son triangulares, unen su vértice. Una pirámide es cuadrangular o pentagonal, etc., según la base ya sea un cuadrado, pentágono, etc.

33. Fig. 5.ª—5.º El cubo, está formado de seis superficies cuadradas e iguales, puestas todas en ángulo recto una con otra.

34. Fig. 6.ª—6.ª El prisma es un poliedro comprehendido entre dos figuras rectilíneas y de igual número de lados, llamadas bases, y las otras superficies, que son siempre cuadriláteras y paralelas entre sí, y se llaman planos laterales o caras del prisma. Si las bases son en ángulo recto con los planos laterales, el prisma es recto, y oblicuo siéndoles oblicuas. Cuando el prisma es de bases paralelogramas, llámase paralelepípedo. Siempre que las bases son regulares, el prisma es regular, diversamente se le dice irregular.

35. Fig. 7.ª—7.º La circunvolución de una semielipsis sobre su diámetro mayor forma el óvalo; y si es sobre el menor será esferoide. Fig. 8.ª

36. Lám. 3.ª—Fig. 1.ª Dada la recta AB, se pone la punta del compás en la extremidad A formando el arco CD, después se junta en B haciendo con la misma abertura otro arco en EF; y trazada una recta tangente a los dos arcos, se tendrá en GH la propuesta paralela.

37. Lám. 3.ª—Fig. 2.ª Se pone la punta del compás en una de las extremidades, por ejemplo en A, con una abertura cualquiera, pero mayor de la mitad de dicha línea, se hace el arco CD, y juntando el compás en B   —10→   se cruza en E y F: por cuyas intersecciones trazada una recta, quedará dividida la dada AB en dos partes perfectamente iguales.

38. Lo mismo se hace para trazar una perpendicular en medio de una recta, siendo la EF necesariamente perpendicular a la otra dada.

39. Lám. 3.ª—Fig. 3.ª Dado el arco AB, póngase en la extremidad A la punta del compás, y con abertura mayor de la mitad de dicho arco, descríbase otro CD, el cual se cruzará en C y D con la misma abertura, trasfiriendo la punta en B; y pasada una recta en estas intersecciones, quedará dividido el arco en las dos partes pedidas AG, GB.

40. Lám. 3.ª—Fig. 4.ª Sea el ángulo ACB el que ha de dividirse: fíjese el compás en el vértice, y con una abertura cualquiera descríbase el arco AB, traspórtese la punta del compás en las dos extremidades practicando la intersección D, desde la cual tirando una recta al vértice quedará dividido.

41. Lám. 3.ª—Fig. 4.ª Sea ACB el que nos sirve de modelo. Trazada la recta EF, se pone en el vértice C el compás, indicando, con abertura voluntaria, el arco AB, el cual se repetirá en GF: conservando la misma abertura y colocando la punta en E: puesta la medida AB de F en G y tirada la recta EG, se tendrá el ángulo GEF igual BCA.

42. Lám. 3.ª—Fig. 5.ª Si C es el punto dado en la recta AB, póngase en él la punta del compás y abierto a la extremidad más próxima, se trazará el arco BD, resultando la intersección D: ábrase más el compás, y puesto en B, se trazará el arco FE, cruzándole en E y F, trasfiriendo la punta en D; en cuyas intersecciones fijada la regla, se trazará la propuesta perpendicular.

43. Lám. 3.ª—Fig. 6.ª Sea B la extremidad: apóyese en ella el compás indicando el arquito FG; hágase centro en cualquier punto de éste, describiendo con la misma abertura el arco ABE, mayor de un semicírculo, colóquese en la intersección D y en el centro C la regla, tirando una recta a cortar dicho arco en E, de cuyo punto se conducirá a B la perpendicular.

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44. Lám. 3.ª—Fig. 7.ª Sea AB la recta y C el punto: fíjese en éste la punta del compás abriéndole hasta la extremidad más inmediata B, intersecando la línea en D: colóquese en este punto el compás, y después en B, efectuando la intersección E, a la cual se dirigirá desde C la propuesta perpendicular.

45. Lám. 3.ª—Fig. 8.ª Sean por ejemplo cinco las partes en que debe la recta AB dividirse. De una de las dos extremidades, por ejemplo A, tírese una recta que haga con la dada ángulo agudo; ábrase a voluntad el compás y mídanse cinco partes iguales de A en C; desde el punto 5 trácese la recta 5B a la cual tiradas desde los puntos 42, 32, 22, 12, otras paralelas, dividirán la dada AB en las cinco partes pedidas.

46. No teniendo comodidad para trazar paralelas, repítase el ángulo BAC en ABD, póngase de B en D las medidas 12, 22, 32, 42, y D, numerándolas en sentido opuesto, 41, 31, 21, 11, tírense rectas de uno a otra punto o número correspondiente, que siendo entre ellas necesariamente paralelas, dividirán la dada en 5 partes iguales como antes.

47. Lám. 3.ª—Fig. 9.ª Cruzándose dos líneas forman cuatro ángulos, los cuales son relativamente alternos u opuestos, y adyacentes o contiguos. Por ejemplo, el ángulo ECA tiene por opuesto DCZ, y por contiguo ACZ y ECD: considerando el ángulo ACZ, tendrá por alterno ECD y por contiguos EVA y DCZ. Si las rectas que se cruzan son perpendiculares, todos los ángulos contiguos y opuestos serán iguales y rectos; pero cortándose oblicuamente resultarán dos obtusos y dos agudos; los opuestos iguales, y desiguales los contiguos¹.

48. Prolongando la normal CO tres veces más de O en R lo mismo que los lados CE y CD en EF y DG, resultará que la perpendicular FG será tres veces mayor de la ED. Continúese la normal de C en V y cortará igualmente por en medio su opuesto ACZ; y si la extensión CV es como la CO, será también AZ igual a su paralela ED. Si desde una, dos o tres cuartas partes de la AZ se pasa una recta por C, herirá igualmente la ED y la FG, en una, dos o tres cuartas partes; de manera que dividiendo en un dado número de partes la FG, por ejemplo en cuatro, e igualmente la AZ, y desde cualquiera de estas partes se tire una recta a su correspondiente, resultará siempre la intersección en C.

49. Si puesto el compás en C se cortan con una misma abertura EZ y AD, trazando las rectas ED, DZ, AZ y AE, resultará un rectángulo. Este   —12→   es el modo más expedito para poner el papel en escuadra; y por ser esta operación muy necesaria daré un ejemplo, agregándole el modo de proporcionarlo.

50. Lám. 3.ª—Fig. 10.ª Para cuadrar el papel ABED, se trazan dos diagonales, procurando que la intersección C caiga lo más posible en el medio, y puesto en esta el compás se hacen las intersecciones N, F, G, H y puestas las rectas NH, NF, FG y GH se tendrá el papel puesto en escuadra.

Para reducirlo proporcional, se pone en GL lo ancho, y en LI lo alto de la proporción dada, trazando la hipotenusa GI, prolongándola hasta cortar FN; y FZ tendrá con FG la misma proporción que IL con LG. Para colocar el rectángulo en medio del papel, tomada la mitad de la diferencia ZN y puesta de F en J y de N en K, y trazadas a NH las paralelas KO y JM se tendrá en medio del papel el rectángulo. Pero si fuere mucho más chico, por ejemplo como LG; entonces se pondrá de F en P, y de G en Q la mitad de la diferencia FL, obrando como dije para los lados KO y JM.

51. Lám. 3.ª—Fig. 11.ª Sea ABCD la figura dada: póngase GH igual a BA; fíjese en B el compás, y abierto en D se hace el arco DE, que se repetirá de M en L poniendo en H la punta: júntense en A el compás, describiendo con el intervalo AC, el arco GF, que repetido igual en NI, y trazadas las rectas IL, GI y LH se tendrá la figura GILH igual a la dada.

52. Lám. 3.ª—Fig. 11.ª Sea KZ el tamaño propuesto para la base AB: establézcanse los ángulos PKZ y KZO iguales a los CAF y DBE dejando los lados KP y ZO indefinidos. Puesto en un lugar aparte la recta ES igual a BA , describiendo el arquito RQ, en el cual colocada la medida KZ se tirará la recta QS: mídase el lado BD y póngase de S en T trazando el arco TX, con cuya medida se determinará el lado ZO, tómese la medida de CA y póngase en SU indicando otro arquito UV, mídase este y determínese KP, y con la recta PO se acabará en pequeño la figura totalmente símil a la grande ACDB. El ángulo RSQ, se nombra de proporción.

53. Lám. 3.ª—Fig. 11.ª Para esto, no hay más que abrir el ángulo de proporción y obrar según se dijo en el párrafo anterior; pero si el tamaño fijado fuese mayor de vez y media que el del modelo, entonces, establecidos los dos ángulos EBD, FAC iguales a PKZ y OZK, dejando los lados BD, AC indefinidos; se trazarán dos rectas RS, RQ, una, igual a la base dada, y la otra a la de la muestra; haciendo vértice en R y trazada la recta QS quedará en QRS el ángulo de proporción. Póngase de R en Ñ y de R en Y, las dimensiones ZO y PK; tírense desde Y y Ñ dos paralelas a QS hasta tocar RS, y se tendrán en RT el lado BD, en RJ el otro AC: condúzcase CD y se tendrá en grande la figura propuesta en nada disímil a la chica.

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54. Lám. 4.ª—Fig. 1.ª Sean A, B, C los puntos dados; póngase el compás en B y con una abertura cualquiera, pero mayor de la mitad de la de un punto a otro, hágase el círculo FHG, y sin variarla múdese la punta en A y después en C, cruzándole en F, H, E, G y pasando por las opuestas intersecciones las rectas HF, GE señalarán en D el centro: puesta en él la punta del compás y abierta la otra en A se corre el círculo que pasará indudablemente por dichos puntos.

55. Para encontrar el centro de un círculo dado ABCI, póngase el compás en un punto cualquiera de su periferia y abierto a voluntad hágase el círculo MPL; sin mover su abertura, efectúense en él las cuatro intersecciones P, O, N, Q poniendo la punta del compás en M y después en L: pásense por las intersecciones opuestas las rectas PO, QN que intersecándose encontrarán el centro en D.

56. Lám. 4.ª—Fig. 2.ª Sea QU la línea. R y Q los puntos dados: póngase en R el compás y con abertura más grande que la mitad de uno a otro, descríbase el arco indefinido ST, cruzándolo con la misma abertura en T, S, trasfiriendo la punta en Q; y pasada por estas intersecciones una recta, señalará en K el deseado centro: en el cual, puesto el compás y abierto en R, se trazará la curva que necesariamente pasará también en Q. Si es dado el radio por ejemplo: AD, y los dos puntos A y C: se abre el compás como el radio dado, y fijada en A la punta se describe un arquito, el que se cruza mudando la punta en C; resultando en la intersección D el centro común a los dos puntos A y C.

57. Lám. 4.ª—Fig. 3.ª Sea la línea AB la base: se pone en B la punta del compás, con el intervalo BA haciendo el arco AED, y sin mover su abertura se apoya en A trazando el arco BEC, que formará con el otro la intersección E; póngase en este punto el compás, y con el intervalo BF, mitad del arco EB, se harán las intersecciones C y D, desde los cuales trazadas las rectas CA, CD, DB quedará perfecto el cuadrado.

58. En la construcción de los polígonos, o es dado el círculo o el lado: si el círculo, se ha de encontrar a este el tamaño proporcional del lado; y si el lado, se tendrá que buscarle la proporcionalidad del círculo.

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59. Lám. 4.ª—Fig. 4.ª Sea AGF el círculo; se traza el diámetro A5, el que se divide en un número de partes igual al de lados que se quiere tenga el polígono, las que establezco en cinco. Se afirma el compás en A y abierto en 5 se describe la porción de círculo 5B, y sin variar su abertura mudada la punta en 5 se cruza con el otro en D; de esta intersección tirando una recta que pase por la segunda división 2 a tocar el círculo, proporcionará en AE la quinta parte del círculo; y por consiguiente repetida dicha medida de E en F, de A en H, de H o de F en G, y trazadas sus cuerdas, se tendrá el pentágono; lo mismo hágase por cualquier otro polígono. La recta que proviene de D, la que determina el lado, siempre ha de pasar por la segunda división.

60. Lám. 4.ª—Fig. 4.ª Sea TL el lado del pentágono: hecha en una escala cualquiera la operación del párrafo anterior y obteniendo el lado AE, se traza de E una recta al centro en C, tómese la medida TL, la que puesta de E en M y tirada de M una paralela a AC dará en la EC el centro N; en el cual puesto el compás y abierto hasta M se corre el círculo proporcional EQS; repítase en él de E en Q, de M en S y de S en R el lado EM y se tendrá el pentágono deseado.

61. Ahora, si la medida dada en lugar de más chica fuere más grande del lado EA como en IL; encontrado con la operación primera el lado EA, se prolongará igual a IL en O, y EC hacia P, y trazada de O una paralela a CA, dará en P el centro del círculo proporcional para que tenga IL cinco veces cabida

62. Debiendo dichos polígonos, ser concéntricos no hay más que, obtenidos los radios MN, OP, fijar la punta del compás en C, en lugar de N y P.

63. El exágono no necesita de dichas reglas; pues siendo dado el círculo su radio es el lado del exágono, y por consiguiente siendo dado el dado, es este mismo el radio del círculo.

64. Lám. 4.ª—Fig. 5.ª Fijados los diámetros mayor AB y menor CD, se toma el semidiámetro del mayor y puesto el compás en C, una de las extremidades del menor, se hacen en el primero las dos intersecciones F e I, llamadas focos de la elipsis; tómese a voluntad; con el compás, una porción AH, con la cual puesta la punta en F se describe la porción indefinida de círculo NP, y con la misma abertura traspuesta la punta en I se hará la otra QT; con BH resto del diámetro, poniendo el compás en I se hacen las intersecciones N, P, y cambiando la punta en F se practican las otras Q y T: tómese también a voluntad otra porción AG y haciendo centro F y después I, se describen los arcos MO, SR: y tomado el resto BG apoyando   —15→   en F y en I el compás se practicarán las intersecciones O, M y S, R; por cuyos puntos pasando la curva quedará descrita la elipsis pedida.

65. La línea espiral es una curva que en lugar de girar paralelamente en derredor de un centro como la del círculo, empieza a más o menos distancia de él y siempre enroscándose acaba en él mismo. En el círculo todos los radios son iguales, pero todos desiguales en la espiral. En donde empieza la rosca se llama nacimiento, y centro u ojo en donde acaba.

La naturaleza nos proporciona, magníficos y abundantes ejemplos de espirales, ya en los rizos de los niños, en las trompas de varias mariposas, en las conchas de muchos moluscos, en las guías de la parra y de muchas otras plantas trepadoras, así como en los tiernos pimpollos y hojas de los helechos y otros vegetales.

Los antiguos arquitectos, aprovechando de estos ejemplos, formaron la noble y elegante voluta que decora el capital jónico, y otros adornos

La espiral no siempre acaba en el centro, aunque siempre se dirija a él; a veces se pierde en la periferia de un pequeño círculo, como son casi siempre las volutas.

66. Lám. 54— Establecido el diámetro mayor BA, y el número de giros que fijo en dos; se pone en un lugar aparte, en los dos catetos, voluntaria y aproximadamente los dos semidiámetros, cuidando que entre los dos compongan la extensión BA, cerrando el triángulo con la hipotenusa JI; y puesto el compás en I se traza con la abertura IL el arco LH que diviso enmedio, se subdivide en M, por cuya división pasada IF establecerá en LF un semidiámetro más aproximado que LI, el cual tomado con el compás supondrá inmediatamente de L en R, y agregada al cateto LJ la diferencia RI de J en O, se le traza su hipotenusa OR; puesto en R el compás y trazado con la abertura RL el arco L5', se divide enmedio, y después en la otra mitad 7', y pasada la recta por esta división y también por 6', tendremos definitivamente determinados en L2' el radio menor de la vuelta entera, y en L1' el semidiámetro menor del diámetro mayor, el cual, tomado con el compás y puesto de B en C, establecerá en C, el centro de la espiral. Póngase en C el compás y con el radio CA trácese el círculo ADE, poniéndole los otros tres diámetros TD, GE, QP; divídase A8, en ocho partes iguales numerándolas, trazando de las divisiones los radios al centro: ahora, tomada la dimensión L2' se pone en CS y C82, y la L1' en C42, y pasada la curva por los tres puntos 82, 42, A (§ 54, parte 1.ª), se tendrá el arco que llamo determinador, el cual intersecando los radios los determinará todos proporcionalmente; tomado con el compás el radio C12 y puesto en CG, C22 en CK,C32 en CN, dejando C42 que ya se fijó en CB; C52 en CÑ, C62 en CU, y C72 en CV, completando el giro en S. Para el otro arco determinador, diviso en medio el arco L6' y pasada la recta R3' determinará en L3' el segundo semidiámetro vertical y menor, el que puesto de C en 13 y de C en 9, se hará pasar como se hizo con A, 42, 82, el segundo arco determinador S9C; pónganse   —16→   los radios determinados en CX, CY, CZ, C23, C3 y C43: tomada con el compás la extensión media entre C12 y CA, se halla con esta el centro común de G y A (§ 56 par. 1.ª), y se traza el arco AG; y como éste todos los otros hasta su conclusión en C.

67. Si la espiral debe terminar en un circulito; entonces, puesto según su radio en L4', se coloca en R el compás y con el intervalo R4' se traza el arco 4'8', el que se dividirá en un número de partes igual al de giros que se quiere de la espiral.

68. Debiendo inscribir una espiral entre dos círculos concéntricos dados; entonces se harán iguales los catetos del triángulo, resultando rectángulo isósceles en lunar de escaleno; obrando en lo lemas según dije.

69. Dividiendo el diámetro mayor en 16 partes, dando 9 partes al semidiámetro mayor y siete al menor, se obtendrá la voluta del antiguo capitel jónico.

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1. Así como la geometría mide y considera los objetos como verdaderamente existen y se perciben por medio del tacto: la perspectiva enseña la manera de representarlos correctamente del modo que se ven; y por eso esta última, se llama justamente, base del arte del diseño y de la pintura.

2. Lám. 6.ª Póngase uno, mirando a una gente, un árbol, un edificio o cualquier otra cosa, lo mismo que el personaje SV, y entre él y los objetos póngase un marco con un cristal bien limpio ARCE, de manera que los lados AB, CE queden paralelos a la línea de los ojos IL²: sus ojos³ recibirán el vértice de una pirámide de radios, conocida por pirámide o cono óptico⁴, cuya base es ABEC, y VP la normal, llamada más bien radio principal; siempre perpendicular a la base, a la línea de los ojos, al horizonte, expresado en PD y sus paralelas.

3. Dicho radio principal, tocando el vidrio, señalará en el medio del horizonte⁵ el punto principal P: la otra extremidad V del mismo radio, es el ojo observador o punto de vista⁶.

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3 A. Dos son los horizontes que se conocen, los que llamo verdadero y perspectivo.

Llamo verdadero al que se halla en el máximo de la distancia, en donde acaba la disminución de los objetos; aquel término que vemos en la mar, en un gran lago o en una extensa llanura, que nos separa el cielo de la tierra; el cual conserva constantemente la altura o nivel del ojo.

Horizonte perspectivo es aquel que pasa por el punto principal y los de distancia, el cual puede combinarse y coincidir con el verdadero, como se puede también separar elevando o bajando la cabeza, variándola del sentido vertical, y hasta poner el radio principal totalmente vertical, como sucede en la perspectiva de bajo en alto y de alto en bajo.

3 B. Lo más conveniente, agradable a la vista y ventajoso para la pintura, lo que enseño y practico yo mismo, es cuando el horizonte perspectivo coincide con el verdadero, lo que se verifica cuando la sección del cono óptico es vertical; porque sólo entonces todas las verticales de la escena se hallan perpendiculares al horizonte y paralelas entre ellas. Por eso todos los casos en que el horizonte perspectivo se separa del verdadero los dejo como desventajosos, o más bien como un modo vicioso de ver y escoger. Sin embargo, daré un ejemplo de la perspectiva o sección horizontal, que es la que se llama perspectiva de bajo en alto y de alto en bajo.

3 C. No moviendo la cabeza, no varía el punto principal; pero por poco que se mueva, el radio principal varió y con él el punto principal y el horizonte. Aquí estriba la necesidad de no mover la cabeza cuando se copia del natural.

4. La línea D' D' es la vertical: y por consiguiente es perpendicular al horizonte. Haciendo centro P, y doblando el radio principal en el horizonte establecerá en D, D los puntos de distancia horizontales: y repitiendo lo mismo con la D' D' los verticales; todos equidistantes y cortados por el círculo vertical cuyo punto principal es el centro.

5. La recta AB es conocida por línea de tierra o término inferior: la CE por término superior o línea aérea; y las AC y BE por términos verticales o laterales del cuadro.

6. La superficie ABEC se llama plano perspectivo o cuadro: a la ABMH se le dice plano geométrico: que sirve para trazar las plantas y perfiles de los objetos que se quieren poner en perspectiva: como tal puede considerarse cualquier lugar en que se dibuje geométricamente, y a veces sirve provisionalmente a éste efecto, hasta el mismo plano perspectivo,

7. A todos los puntos que se hallan en el círculo vertical y fuera de él, menos el principal y los de distancia, se les da el nombre común de accidentales.

8. Presenciando cerca o distante algún hecho u otra cosa del natural, siempre es una sección del cono o pirámide óptica: cuya representación para que no salga desagradable, el radio principal ha de ser, por lo menos, vez y media el lado mayor de la base.

9. El término superior y el inferior del cuadro, el horizonte y la línea de los ojos son paralelas entre ellas geométricamente: así como se consideran también paralelas entre sí todas las verticales que se hallen en el cuadro; a pesar de que en realidad o geométricamente hablando, ninguna vertical puede   —19→   ser paralela a otra, a menos que viniendo del lado opuesto de la tierra, haga parte de un mismo diámetro.

10. Las líneas perspectivas para ser paralelas entre sí deben salir de un mismo punto: que siendo horizontales estará en el horizonte, si ascendentes lo tendrán más alto y más bajo si descendentes.

11. Lám. 7.ª—Fig. 1.ª Las líneas perspectivas BA y BL son paralelas, porque tienen un mismo punto de concurso en B, y ascendentes por tenerlo más alto del horizonte: las PA y PI son también paralelas por salir ambas de P, y horizontales por estar éste punto situado en el horizonte; finalmente, las AF y FS son paralelas concurriendo en el mismo punto F, y por estar dicho punto más bajo del horizonte son descendentes: la línea GA no es paralela a ninguna de las dichas, saliendo de un punto distinto G.

12. Punto de concurso puede decirse de cualquiera, sea en el horizonte, sobre o debajo de él, no exceptuando los puntos principal y de distancia.

13. Las líneas que salen del punto principal, a más de ser paralelas entre ellas y de naturaleza horizontal, hacen ángulo recto con la línea de tierra y sus paralelas; y ángulo de 45º con las que provienen de los puntos de distancia: por ejemplo, las líneas PA y PI son en ángulo recto con MN, QR, DD', etc.; y semirecto o de 45º con las D'A y DA.

14. Las líneas que salen de un punto de distancia, son en ángulo recto con las que salen del otro opuesto, como D'A con AD; y de 45º con las que salen del punto principal, con la línea de tierra y sus paralelas, como P, A, PI y MN.

15. Lám. 7.ª—Fig. 1.ª Desde el punto C, dado en el plano geométrico se conduce una perpendicular a la línea de tierra hasta tocarla en I, prolongándola perspectivamente desde este punto, dirigiéndola al principal P: recuéstese el intervalo IC sobre la línea de tierra en IH, tírese desde H una recta a la distancia, y la intersección O será la apariencia perspectiva del punto.

16. Las rectas HI e IC puestas en el plano geométrico son iguales y en ángulo recto: la recta CH que desde la extremidad de una va a tocarla de la otra, hace ángulo de 45º o semi-recto con las dos, formando las tres un triángulo isósceles y rectángulo: igual, pero perspectivamente, la OI y la IH, son en ángulo recto e iguales: en ángulo recto porque la OI procede del punto P, que es el principal (véase el § 13), e iguales, porque siendo en ángulo recto son determinadas por otra que viene del punto de distancia, (§ 13) que lo hace de 45º con las dos; quedando el triángulo perspectivo HIO, como el geométrico HCI rectángulos e isósceles. Además, el lado HI es común a los dos triángulos; claro está que el perspectivo y el geométrico son iguales. Queda, pues, clara y definitivamente demostrado que   —20→   el punto O, encontrado en el plano perspectivo es la verdadera y cabal representación de C dado en el plano geométrico. En esta demostración descansarán todas las siguientes operaciones.

17. Lám. 7.ª—Fig. 2.ª Establecidos en el horizonte el punto principal P y el de distancia en D, desde todos los puntos 1, 2, 3, 4, etc. de la línea de tierra, en que hieren las divisiones perpendiculares de las piedras, diríjanse rectas al principal, P; y según quedó demostrado en la precedente operación, poniendo una recta perspectiva que haga con las dichas ángulo de 45º, a cuyo efecto deberá, dirigirse a la distancia, se encontrará la apariencia perspectiva del punto 8 en O; igualmente que de todas las otras lozas, como las corta geométrica y diagonalmente la recta 1 8 en la planta. Desde todos los puntos, o intersecciones perspectivas puestas paralelamente a la línea de tierra las rectas FK, GI, HJ, LM, SN y ÑO quedará acabado el pavimento perspectivo igual al geométrico 1 8 7.

18. Queriendo seguir más adelante el enlozado, se prolongarán las rectas perspectivas hacia el punto de concurso, que es el principal, conduciendo desde Ñ una recta a la distancia, la cual dará en sus intersecciones desde R a Q la degradación perspectiva de otras seis líneas de lozas; que si no bastaren, se tirará desde R otra recta a la distancia, cortando la P7 en T; y así repitiendo otra u otras rectas a D, si se deseare prolongar más el pavimento.

19. Lám. 8.ª— Sea ABCE el cuadro, P el punto principal y D el de distancia. Cuando se quiere que la figura quede en el cuadro de igual tamaño que la geométrica, se pone la planta en el punto en donde se ha de levantar la perspectiva; por ejemplo en I, como si allí mismo fuese la línea de tierra: considerando todos los demás puntos o ángulos de dicha planta H, F, G como dados en el plano geométrico, encontrando a cada cual su posición perspectiva en K, L, J obrando como se dijo en el § 15 de esta parte; y trazadas las rectas IK, KL, LJ, JI se tendrá la planta perspectiva del cubo. En un punto aparte I', de la supuesta línea de tierra, póngase horizontalmente en I'Y, o verticalmente en I'V, según más acomode, la medida geométrica IG: desde sus extremidades I1, V diríjanse dos rectas en un punto cualquiera del horizonte A'. Póngase paralelamente a la línea de tierra, desde los puntos K, L y J, las rectas KX, JZ, LU: y levántense las verticales XR, ZS, UT; tomada con el compás la medida X R, se coloca verticalmente de K en M, la ZS en JN, la UT en LO y en el punto I la IG o I'V: tírense las rectas MÑ, ÑN, NO, OM y se tendrá el cubo perspectivo propuesto.

20. Las paralelas perspectivas A'I y A1V constituyen la escala perspectiva o huyente, la cual, como vimos, sirve para encontrar las alturas de   —21→   los objetos, disminuidos con la debida degradación perspectiva, relativamente a la distancia en que se encuentren de la línea de tierra; y se basa en este axioma: si dos o más rectas paralelas se hallan limitadas por dos paralelas, son iguales. La escala huyente es útil sobre todo, cuando los puntos de concurso están fuera del alcance.

21. Queriendo poner otros cubos en la misma dirección e iguales al ejecutado; se prolongan los lados JI, KL, MO, ÑN hacia el punto de concurso: desde un punto cualquiera P, pero en el horizonte, se tira una recta que pase por J, señalando en la supuesta línea de tierra RI' el punto 1': fíjese desde éste, en 2' el intervalo de uno a otro cubo, pasando en B' otra proveniente de P; repítase de 2' en 3' la extensión I 1', que representa la de un lado: otro intervalo de 3' en 4', y la de un lado de 4' en 5'. Ahora tírese desde el punto P la L1, y repítanse de 1 en 2, de 2 en 3, de 3 el, 4, etc.; las dimensiones 1'2, 2'3'; 3'4, etc., y trazadas de los puntos 2, 3, 4 y 5 rectas a P, se tendrán los puntos F', G', K', y J'; levántense las verticales B'N', C'Ñ', D'O', E'P'; y las F'L, G'H, K'M'J'Q'; y trazadas las rectas L'N', H'Ñ, M'O', Q'Q, y los trozos D'7, B'6 se tendrán acabados los cubos propuestos iguales al primero.

22. Lám. 9.ª— Sea A el punto que nos sirve de ejemplo. Habiendo toda la distancia, se practicará como se dijo en el § 15, es decir, recostar en BC, toda la extensión BA; hallar en I la apariencia perspectiva, cortando la PB, con la CD. Supóngase ahora, que por falta de espacio tengamos que minorar una tercera parte la distancia en ⅔D: se deberá entonces, poner también un tercio menos de la extensión AB en BH, y tirada la recta H⅔D se tendrá en I el punto. Póngase una tercera parte de la distancia en ⅓D, y colóquese igualmente de B en G un solo tercio de BA, y se tendrá con la recta G⅓D la intersección igualmente en I. Se concluye que, tomando una parte cualquiera de la distancia, basta que se recueste en la línea de tierra una igual y proporcional parte de BA, se tendrá siempre en I la intersección. (Véase § 48, parte 1.ª)

23. Lám. 10.ª— Sea AB la recta perspectiva y O el punto; hágase pasar por éste, una paralela al horizonte hasta alcanzar la dada, o prolónguese aquella, a fin de obtener el contacto R. Desde el principal tírese una recta que pase por un punto cualquiera Q de la AB, hasta tocar la OR en I, y otra desde la distancia pasando por Q en M: considerada OR como línea de tierra, bájesele desde I, la perpendicular geométrica IN, igual a la extensión IM, y se tendrá en la NR la postura o dirección geométrica de la AB. Póngase a la dicha NR, desde O, una perpendicular geométrica OL (véase § 44, parte 1.ª), y encontrada la posición perspectiva de L en C   —22→   (véase § 15, parte 2.ª), se tendrá en CO la perpendicular deseada. Si por la posición o espacio no se pudiese hallar el contacto R; se encontrará entonces, la posición geométrica de otro punto A en G, a fin de que pueda realizarse la postura de la recta perspectiva dada, para poderle trazar la perpendicular geométrica desde el punto dado.

24. Si el punto dado estuviese muy lejos de la recta perspectiva, como Z, se le pasará una paralela al horizonte con extensión voluntaria; y hallada en su extremidad 2, la posición geométrica, que se obtendrá con una paralela a RN en 2Z2, se le trazará desde Z la perpendicular, que se obtendrá fácilmente con una paralela a OL: supuesta la 2Z, línea de tierra y encontrada la apariencia perspectiva de Z2 en Y, se pasará en este punto desde Z hasta alcanzarla dada AB en Z1, la deseada perpendicular perspectiva.

25. Si el punto dado fuere en Ñ, se le trazará la paralela al horizonte ÑK, la cual se considerará línea de tierra: póngase desde su extremidad K la JK paralela a RN, y desde Ñ otra paralela, pero a OL; encuéntrese la posición perspectiva de J en V, y apuntada la regla en V y Ñ, se trazará de Ñ en X la propuesta perpendicular. Si el punto dado fuese en la misma recta como C en AB; encontrada la posición geométrica de la línea y del punto, y puesta la perpendicular a tocar la línea de tierra en O, se tirará de este punto a C la perpendicular.

26. Lám. 11.ª—⁷ Establecido el cuadrante QA4, se divide en cuantas partes se quiera, por en cuatro iguales 1, 2, 3, 4; desde cuyas divisiones se conducen a la línea de tierra rectas perpendiculares a señalarle los puntos J, B, C, D, E y poniendo en J la punta del compás se repetirán del otro lado en F, G, H, I; de todos ellos diríjanse rectas al principal. Pero debiendo obrar con la mitad de la distancia, encuéntrese la apariencia perspectiva del punto A en A'; (v. § 22, parte 2.ª), pasando por este punto, de uno y otro lado la recta KL; y según el mismo párrafo, córtese LN Igual a KL; pónganla NM y se tendrá el cuadrado perspectivo MKLN. Tírense las diagonales KN, ML; póngase la regla en las intersecciones 6 y 6', cortando la BP y PF en T, T'; cámbiese la regla apoyándola en 7, 7' y se cortarán las dichas BP y PF en T, T'; apóyese en O2 y O3 la regla, córtense la DP en P2, y la PH en P1; colóquese después en R y R' intersecando las mismas en V1,V; pásese por el centro una paralela al horizonte cortando KM en Z y LN en A2: y se tendrán juntamente a 8, 81, 9, 91, 16 puntos para trazar el círculo propuesto.

27. Lám. 12.ª Para no confundir al discípulo con demasiadas líneas, trasfiero en esta el círculo ZA1 A2 A3, hecho en la lámina antecedente,   —23→   con el mismo horizonte, línea de tierra y distancia. Desde los puntos 1, 2, 3, 4 del cuadrante, tírense los radios a cortar el menor en 11, 21, 31, 41 poniendo de estos puntos las perpendiculares a la línea de tierra, desde donde se dirigirán al principal. Pónganse todos los diámetros al círculo perspectivo de una a otra división opuesta, y en donde crucen con las rectas perspectivas directas al principal, serán los puntos para pasar la curva del círculo. Poniendo en JE la mitad de JÑ y tirada desde E una recta a ½D, o tirando de este último una recta que pase por H1 se obtendrá el punto F, y el otro G, tirando desde H, mitad del radio IQ, otra recta a la ½D.

28. Lám. 12.ª Siendo más grande el círculo concéntrico que se ha de agregar se prolongarán indefinidos los radios del perspectivo y los del geométrico hasta tocar su periferia en 1'', 2'', 3'', 4'' desde cuyos puntos, puestas a la línea de tierra las acostumbradas perpendiculares, dirigiéndolas desde ella al principal; se pasará la curva perspectiva del círculo por las intersecciones S, Y, A, B, C, etc. La intersección M1 se efectuará poniendo desde la mitad del radio Q1Y una recta a ½D.

29. Lám. 13.ª Hechos los círculos perspectivos iguales a los de la planta geométrica BAI, según enseñé en los § § 26, 27, 28 (parte 2.ª); se levantan verticales indefinidas en todos los puntos en que quedan cruzados por los diámetros y las diagonales. Puesto el perfil geométrico en O6, de los puntos O, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 que señalan la altura de los diferentes miembros, dirigidas rectas a uno común en el horizonte, formarán la escala huyente (§ 19 y 20 parte 2.ª), a la cual tiradas las rectas BO, FR y GT paralelas al horizonte, y levantadas las verticales R6, y T6, se tomarán una a una, con el compás, las medidas O6, poniéndolas en B6, I6, C6 y numerándolas; las R6 se ponen en E6 F6, y en G6, K6 y H6 las de T6. Desde el punto 6 sobre la C, tírese una recta al 6 de G, señalando en las verticales elevadas en C2 y G3 los puntos 61; tírase otra recta del punto 5 al 5 opuesto, la que indicará los 5'; trazando de uno y otro lado la parte 51 61que representa la 56 del perfil geométrico; condúzcase de 4 a 4 su recta, y de 3 a 3, trazando el imoscapo y listón; del 2 al 2 y del 1 al 1, trazando toro y plinto: repítase dicha operación dibujando los perfiles sobre la otra diagonal BH, y los diámetros, FE, IK; pásense las curvas por los 61 y después por los 51, 41, 31, 21, 11 y se tendrán las partes redondas de la base: póngase de 1 sobre B al 1 sobre C una recta, de este último al 1 de H otra, y hecho lo mimos desde el 1 de B al de G tendremos acabada la base.

30. Lám. 13.ª Establézcase en A9 A' A" proporcionalmente a la base la planta del capitel, y su perfil en Q8; levántense las verticales BJ, C D' hasta QD' altura del perfil geométrico determinando las GL', HM con dos recias tiradas al punto principal P, desde J y D'; puestas las diagonales   —24→   D' L', JM y los diámetros NU, VV'; trazados los círculos perspectivos correspondientes a los de la planta geométrica, bájense las verticales como se levantaron para encontrar la base; poniendo las alturas de los miembros del perfil mencionados, en las JB, NI, D' C y numerándolas; colocando las S8 en las V'F, VE; y las Z8 en las L1G, UK, MH; y así poniendo rectas de un número a otro opuesto y correspondiente, como se practicó en las verticales puestas en la diagonal CG de la base, se trazarán todos los perfiles, por los cuales pasando las curvas perspectivas y las rectas del ábaco, se tendrá sobre la base el capitel deseado.

31. Lám. 14.ª Descritos los círculos perspectivos, y trazados los dodecágonos grande y chico según la planta geométrica ABC; se levantan del centro y de todos los ángulos de dichos polígonos, verticales indefinidas. En un punto cualquiera de la línea de tierra, póngase una vertical, señalando en ella las alturas geométricas de los escalones y numerándolas 1, 2, 3, 4, 5, etc. formando la escala huyente, tómense en ella todas las medidas de GG1, poniéndolas sobre el eje MZ con sus respectivos números; mídase L1 en la escala perspectiva y póngase en las dos verticales del polígono mayor en N1 y L1; mídase L2 en la escala y póngase en la vertical L2 del polígono, tomada E2 en la escala se pondrá en E2 del polígono; E3 de la escala en E3 del polígono, F3 en F3, F4 en F4, y siguiendo hasta el fin. Apóyese la regla en el punto 1 sobre N y 1 del eje, tirando una recta hasta encontrar en 1' la vertical correspondiente del polígono menor, apóyese la regla en 1 sobre L y en 1 del eje trazando la recta hasta la correspondiente vertical en 12: apóyese en el punto 2 de L y el 2 del eje llegando a tocar en 21, desde el 2 de E al 2 del eje tocando en 22, del 3 de E en 31, del 3 de F en 32, del 4 de F en 41, y número por número dirigiendo la recta a su igual del eje y acabándola en la vertical que le corresponde del polígono menor se tendrá hecha la escalera de caracol.

32. Lám. 15.ª En este genero de perspectiva se practica del mismo modo que en el otro, con la sola diferencia, que los planos horizontales se ven geométricos, y perspectivos los verticales; de manera que se hace lo mismo como si los objetos estuviesen recostados o tendidos en un plano horizontal.

33. Queriendo poner en perspectiva la columna señalada en el perfil EG H3 H, siendo su planta H H1 H3, y teniendo que obrar con la mitad de la distancia, se toma igualmente, la mitad de la extensión HE2 poniéndola en AI, fíjese en I el compás describiendo con los radios HH1 y HH2 los círculos concéntricos 5 6 y MM1: desde el centro I diríjase el eje perspectivo al punto principal P, póngase el diámetro 5 6 geométricamente perpendicular a dicho eje; diríjanse al principal las dos tangentes paralelas y perspectivas 5 T,6T1 y las otras dos MO M1O1; desde los puntos A, B, C que representan las dos dimensiones E1F1 y F1G y a disminuidas de la mitad, se tiran rectas a la distancia ½D, verificando en el eje las intersecciones 7, 8, L quedando las dimensiones 7 8 y 8L perspectivamente iguales a las geométricas E1F1, F1G;   —25→   póngase en L el compás y abierto hasta tocar las primeras paralelas, se describe el círculo ORO'; póngase la punta en 8, y ábrase a tangentar las otras dos paralelas en T'T describiendo el otro círculo TST' tírense en los puntos T y T' dos tangentes geométricamente paralelas al eje; póngasele a este una perpendicular geométrica que tangente en S, la que limitará en 1 y 2 la parte inferior de la tablita; puesto finalmente en 7 el compás y abierto a tocar las paralelas 5T, 6T' en N, N' y cortando con este intervalo el eje en V, hágasele pasar la recta 3 4 paralela geométrica de 1 2, la cual quedará cortada en los puntos 3 y 4 por medio de las 1 4 y 2 8, dirigidas al principal; y puestas dos rectas a tangentar los círculos 0'0 y 56 quedará totalmente acabada la columna.

34. Que la perspectiva sea de bajo en alto o de alto en bajo, no depende sino de la posición con relación al que observa, que poniéndola en un suelo le será de alto en bajo; y de bajo en alto, observándola puesta en un cielo.

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1. después del contorno son las sombras del más grande interés en la pintura; por medio de ellas vemos despegarse los objetos unos de otros y distinguimos sus diversas superficies.

2. La luz es la que ocasiona las sombras; estas son más o menos fuertes y decididas según la luz es más o menos resplandeciente: sin luz no hay sombras, y por eso nada se distingue en una completa oscuridad

3. La luz es de dos clases, natural y artificial; la natural es la que emana del sol y la que recibimos aún de la luna, y la artificial la que nos procuramos por medio del fuego.

4. El sol nos proporciona tres clases de luz: la primera que es la más fuerte, se recibe directamente de él, y se llama luz de sol; la segunda es la que se recibe de una superficie iluminada por el sol, y se le dice reflejada: la tercera es la que se disfruta en un lugar abierto sin sol y es llamada difusa.

5. En la luz solar y de la luna deben distinguirse tres circunstancias según la posición del luminar relativamente al cuadro, que traen consigo varios modos de obrar, y son: 1.ª sol paralelo al cuadro; 2.ª sol detrás del cuadro, y 3.ª sol delante del cuadro. En el primer caso el sol es igual a las sombras: en el segundo hay más sombras y menos sol, y más sol y menos sombras en el tercero.

6. Siendo el sol paralelo al cuadro, se debe solo tener cuidado de la inclinación; y de la inclinación y declinación estando delante o atrás. Por inclinación se entiende de la altura del sol con relación al horizonte: y la mayor o menor distancia horizontal de uno u otro lado del punto principal por la declinación.

7. Si paralelo al cuadro (el sol) serán, en el mismo, geométricamente paralelas las sombras, y perspectivas en los otros dos casos.

8. Los grados de inclinación y declinación se miden poniendo el centro del semicírculo graduado en el punto de distancia, con el diámetro en el horizonte, pasando desde el centro una recta por el número pedido de grados, y prolongándola hasta la vertical (véase parte 2.ª § 4) señalará en ella el dicho número de grados, que son de inclinación, y queriéndolos de declinación se pondrán los mismos en el horizonte de uno u otro lado del punto principal.

9. Lám. 16.ª— Para trazar la sombra de la varilla HF, por ejemplo   —28→   45º de inclinación, de la cual llamo pie el punto H en que descansa, y al otro F extremidad; se tira desde el pie una recta indefinida HE paralela al horizonte, cortándola a su debido tamaño con otra que tenga dicho ángulo de inclinación con el mismo horizonte tirada desde la extremidad y se tendrá en EH la sombra.

10. Si la varilla no fuere vertical sino inclinada como GF, se bajará desde su extremidad una vertical hasta tocar el suelo, y considerando dicha vertical como varilla, se le encontrará como se dijo, el punto E, desde el cual se trazará el pie G de la misma, la sombra.

11. Sea la vara AB paralela al horizonte y clavada en la pared; desde el pie B se baja indefinidamente una vertical, la cual se corta en D con una recta tirada desde la extremidad A, haciendo con el horizonte un ángulo de la dicha cantidad de grados, y quedará en DB la sombra. Si en lugar de horizontal fuere oblicua como AC; desde su extremidad tírese una paralela al horizonte hasta tocar la pared, bajada en este punto la vertical y cortada en D, con la AD, se trazará desde D al pie C la sombra.

12. Lám. 17.ª En este caso se deben advertir las cosas que siguen: 1ª el sol, su inclinación y declinación (§ 6º); 2.ª el pie del mismo que es la proyección vertical del primero en el horizonte; 3.ª la extremidad, y se entiende aquella en que terminada la parte saliente del objeto; 4.ª el pie del objeto, que se considera el otro extremo en que descansa; 5.ª el pie supuesto, que así nombro la proyección vertical de la extremidad en el plano horizontal en caso que el objeto esté inclinado.

13. Desde el pie del sol; pasando una recta por el del objeto, si este es vertical, o diversamente por el supuesto dirige la sombra; y desde el sol pasando otra por la extremidad la determina: desde el punto determinado se conduce la sombra al pie del objeto.

14. Lám. 17.ª Sea a la varilla AB que se debe trazar la sombra; el sol está en S, desde el cual haciendo al horizonte la vertical SP' señalará en P' su pié, de este pasando por B, una recta indicará la dirección de la sombra, que se determinará en C con otra proveniente del sol que pase por la extremidad A; y será BC la nombra. Si la varilla fuese inclinada como EA se pasará por el pie supuesto la dirección de la sombra determinándola en C como antes, desde donde se trazará en E la sombra.

15. Lo mismo se hará para trazar la de la piedra A'B'C'D', considerando las esquinas A'G', D'F', C'E' como otras verticales o varillas, encontrándoles sus sombras como se hizo con la AB (§ 13).

16. Para trazar la de la columna o cilindro I'H'M'L', se dirigen desde el pie del sol dos rectas a tangentar dos puntos opuestos de la base, prolongándolas en adelante, y otra que pasará por el centro cortando la periferia de la misma; desde los puntos de tangencia como del de la intersección, se levantarán verticales hasta tocar la extremidad del cilindro, con las cuales practicando como se hizo con la AB (§ 13), se tendrá en M'L'L" la sombra.

  —29→  

17. Lám. 17.ª— También en los planos verticales se deberá cuidar del sol, el pie del mismo, de la extremidad y pie del objeto, como del pie supuesto, al cual se puede agregar otro horizontal, que es la proyección de la extremidad producida por el pie del sol en la pared. Cuando se usa el pie supuesto horizontal, se omite el vertical y se omitirá aquel cuando se use este.

18. Para obtener la sombra de la varilla 12 proyectada en el plano vertical 134; se encuentra, 1.º, la proyección horizontal de la extremidad 2 producida por el pie del sol sobre del plano en 4; 2.º bajar en este punto una vertical indefinida, y cortarla en 3, con la recta de determinación, que desde el sol pase por la extremidad de la varilla; 3.º, trazar desde el punto 3 al pie de la varilla la sombra.

19. Presenta en la práctica aún más facilidad, bajando desde la extremidad 2 de la misma varilla una vertical hasta el suelo, formando en 5 un pie supuesto, pasar por este la recta de dirección a topar la pared en 6, levantarla allí verticalmente y cortarla en 3 con la recta de determinación: poniendo desde el punto determinado 3, al pie 1 la sombra.

20. Si la pared variare de dirección, como sucede con la varilla GF: desde el pie del sol condúzcase una recta, al del ángulo JN de la pared, la cual intersecará K'H proyección de la varilla, en Ñ, levantando allí una vertical a tocarla en Ñ', en cuyo punto se pasará una recta proveniente del sol a herir dicho ángulo en N, y desde este se guiará la sombra al pie F. Dirigiendo desde el pie de la esquina RY, otra recta al del sol, resultará en K'H la intersección I', en donde levantada la vertical a tocar la varilla en X, se pasará por este punto la recta de determinación a señalar dicha esquina en R, desde donde se continúa la sombra hasta juntarse en N. Puesta finalmente otra recta de dirección que pasando por el pie supuesto H vaya a herir el de la pared RMK en T, se levantará allí la vertical, que cortada con la recta de determinación, se tendrá en K el punto final de la sombra, en donde concluirá conduciéndosele desde R.

21. La proyección de la GF2, se obtendrá bajando desde el pie F2 una vertical al suelo en K2, y bajada símilmente otra vertical desde G en H, se tendrá en la recta K2H la proyección vertical de GF2, obrando en lo demás lo mismo que en la GF.

22. Si el plano en lugar de seguir vertical variase inclinándose como el trozo de pared V'R'X' en el cual se fijó la varilla UV, se deberá después de haber bajado de su extremidad U la vertical a tocar el suelo en O' pasar por este punto la línea de dirección a encontrar en Z el pie de la proyección vertical de la pared en que apoya el estribo, levantándole allí la vertical hasta tocar el nacimiento del mismo, cortándola en Z' con la recta de determinación; diríjase a este punto desde el pie V de la varilla la sombra, suspendiéndola en V', donde principia la inclinación del plano: desde el punto U' en que la línea de dirección O'Z toca la proyección vertical de la 7 8' levántese una vertical a tocar aquella en X', y poniendo de este punto una recta a K, verificará en U'ZK'X' la sección del cuerpo saliente con   —30→   dirección al pie del sol; y el punto R', en que la recta X'K' corta la de determinación UZ' proveniente de S, es a donde se ha de dirigir la sombra y acabarse.

23. Para encontrar la sombra de la varilla US', fija en la parte inclinada de la pared, se le bajará su vertical UO' pasando en O' la recta de dirección a herir la pared en U': levantándole allí la vertical U'X'; prolongada la dirección O'U' a tocar la proyección de la V'K' en Z, se levantará la vertical a tocar el nacimiento del estribo en K', póngase la X'K' la cual quedará cortada en R', con la recta de determinación, desde cuyo punto se trazará la sombra al pie S.

24. Del mismo modo se obrará con la piedra J6 apoyada en la pared y en el suelo; bajando desde sus ángulos verticales, y trazando desde los pies, supuestos rectas de dirección, que si fueren interrumpidas por algún plano vertical o inclinado, se continuarán verticalmente o inclinadas, determinándolas siempre con las procedentes del sol.

25. Se opera en este caso como si estuviese detrás, pero con estas diferencias: 1.º que el sol se pone verticalmente bajo de su pie, y tanto cuanto se quiere alto; 2.ª queriendo iluminar el lado derecho de los objetos, se deberán poner a la izquierda del punto principal los grados de declinación y viceversa.

26. Lám. 18.ª— Sírvanos de ejemplo la varilla ON: el sol frente al punto D, y su elevación del horizonte igual a la extensión DR: traspórtese el pie del sol del otro lado del punto principal en P' y el sol en S; diríjase desde O, pie del objeto, la recta de dirección al pie del sol, cortándola en S, con la de determinación dirigida desde la extremidad del objeto al sol, quedando obtenida en OS' la sombra.

27. Sea la varilla AB fija en la pared CAE, bañada por el mismo sol: bájese a su extremidad B la vertical BI' hasta el suelo, que se supone horizontal; condúzcase desde este punto la dirección al pie del sol hasta tocar la pared en F', desde donde levantada verticalmente, se cortará en E con la recta de determinación directa de la extremidad B al sol.

28. Para encontrarla en los planos inclinados hágase del modo siguiente: puesta la varilla 14, se baja la vertical 46 de la extremidad al suelo; desde el punto 6 se tira la recta de dirección hasta tocar la proyección vertical de donde nace el estribo; levántese la vertical 72, tírese, desde 2 al pie 5, del mismo estribo una recta que será cortada con la de determinación en   —31→   3, y este es el punto desde donde se ha de conducir la sombra al pie de la varilla.

29. Se podrá también teniendo oportunidad, servirse del pie supuesto horizontal (véase § 7 16, 17, parte 3.ª), bajándole la vertical indefinida, siendo vertical el plano, que si es inclinado, seguirá la inclinación según el corte con dirección al pie del sol, la cual se cortará a su debido tamaño con la de determinación.

30. Lám.19.ª—Fig. 1.ª Sea PD e horizonte, el sol en S, que por estar delante del cuadro, se transfirió en S'. Desde el punto E', escogido a voluntad en dicho arco se traza, hasta tocar la pared, una recta dirigiéndola al de concurso P; desde R se pone indefinida y horizontalmente, una paralela al plano de la pared, que por medio de otra recta tirada de E' al pie del sol quedará cortada en T, desde cuyo punto bájese una vertical indefinida, la cual, cortada con una recta de E' al sol, dará en V el punto de sombra proyectado por E': y como V se encontrarán los otros X'Q'Z' para trazar la sombra.

31. Lo mismo se obtendrá usando como en el § 27 de esta parte, del pie supuesto vertical, teniendo como en aquel comodidad del plano horizontal.

32. Fig. 2.ª— Se opera con el mismo horizonte, sol y punto de concurso dé la fig. 1.ª: indica ABF la sección vertical de la cúpula. Encuéntrese el semicírculo perspectivo y horizontal ACMB en que descansa la parte curva sobre la vertical; póngase desde B una recta al pie del sol, P', que cortará el semicírculo perspectivo en M, y bajando en este punto la vertical MN, indicará la sombra NBO, proyectada por la esquina OB, en la superficie curvo-vertical OBN. En un punto a voluntad de la sección, por ejemplo H, bájese una vertical HL, póngase desde L la recta perspectiva LD' dirigiéndola al pie del sol, trazando el perfil perspectivo y curvo D'H; póngase la vertical indefinida D'I, en la cual se determinará el punto de sombra I, con una recta tirada desde H al sol. En otro punto, F, de la sección, bajada su vertical, dirigida la recta a P' y dibujada la curva del perfil perspectivo, se obtendrá con la intersección de la recta S'F el punto de sombra en G: de este modo se pueden obtener cuantos puntos se necesiten para trazar la sombra propuesta.

33. Lám. 20.ª— Como se obtuvo en el arco y la semicúpula encontrando los perfiles según las secciones verticales y en dirección al pie del sol; del mismo modo se hará con la base, verificando en ella tantas secciones o perfiles en todos aquellos puntos en que más se dificulte el conducir la sombra;   —32→   cuyos perfiles sirven como líneas de dirección, que se determinan con rectas que de los puntos proyectantes vayan al sol. A mayor inteligencia voy a encontrar en la base ACE que nos sirve de ejemplo una sección o perfil y su punto de sombra.

34. Trazados los círculos perspectivos de la planta, correspondientes a las diferentes molduras, póngase una recta desde un punto a la voluntad, por ejemplo A, del mayor de ellos, que vaya al pie del sol D, y en donde corta los círculos levántense verticales, por medio de las cuales se indicará el perfil AHBCIE en el cual el punto C es el que proyecta la sombra, desde cuyo punto tirada al sol S, la recta de determinación, señalará en B el punto de sombra: obrando así se encontrarán los otros puntos para trazar toda la sombra.

35. Las sombras que produce este planeta, se obtienen de la misma manera que las del sol. Debe advertirse, que siendo esta luz tan débil, son casi nulos los reflejos; notándose, al mismo tiempo, muy poco las localidades de los colores, modificados, y misteriosamente inciertos por el influjo de su luz plateada y fría.

36. Esta clase de luz siendo tan débil y de un volumen tan pequeño en comparación de la del sol y de la luna, a poca distancia queda vencida por las grandes masas que la rodean y confusa con las sombras. La de los volcanes en erupción y la de las centellas eléctricas, aunque naturales, pertenecen a este género de luz, entre cuyas, la última es la más fuerte, pero disminuye también hasta perderse; de manera que, a su máximo de distancia, no parecerá el mínimo resplandor de un rayo lanzado de las nubes.

37. Las sombras disminuyen cuanto más el objeto se acerca al cuerpo luminoso si este es más grande, por lo contrario aumentarán siendo el mismo más pequeño que el objeto iluminado. En el primer caso alejando el objeto del luminar, aumentará la sombra y disminuirá en el segundo.

38. La luz artificial influye sobre de los objetos a más o menos distancia según su mayor o menor viveza, y siendo de la misma fuerza según su mayor o menor tamaño.

39. Una llama que resplandece en una habitación, tiene un pie de luz en el suelo, punto establecido con una recta que desde la llama vaya perpendicular a él; la misma lo tendrá, en el cielo o tejado y en cada pared, todos los cuales serán puntos de dirección de sombra en cada plano, y la llama punto de determinación de todos ellos. Por consiguiente, si dicha luz resplandece en un cuarto con cuatro paredes tendrá seis pies o puntos de dirección, desde los cuales trazando rectas al centro de la llama serán todas perpendiculares cada cual a su respectivo plano.

40. Sin embargo, se puede en la práctica obrar con un solo pie de luz, el del suelo, y encontrar cuantas sombras se necesiten ya en planos horizontales, ya en verticales e inclinados; de cuyo método usaré como más sencillo y aplicable en todos casos.

  —33→  

41. Se usa del pie supuesto como en la luz natural, siempre que el del objeto no caiga vertical al suelo, por el cual pasa la dirección de la sombra proveniente del de la llama, que la misma determina pasando por la extremidad del objeto.

42. Si una recta paralela a un plano proyecta en él su sombra, son, sombra y recta paralelas; y oblicuas, siendo la recta oblicua al plano.

43. Si la llama es grande, su pie de luz en lugar de un punto será una superficie, igual a la del corte de la llama verificado paralelamente al plano: que si dicho corte es triangular, cuadrilátero, etc. tendrá, tres, cuatro o más puntos de dirección y otros tantos de determinación, cuyos últimos puntos obrarán cada cual determinando las líneas directas de su pie correspondiente y perpendicular.

44. Lám.—21.ª Empezando por la varilla CD perpendicular al suelo; se tira desde el pie A de la vela pasando por el de la varilla la recta de dirección CE, que se cortará en E con la de determinación, que desde la llama B; pase por la extremidad D de la varilla, resultando en CE la sombra. Si la varilla fuere oblicua al suelo como DF, se encontrará en él la proyección perpendicular de su extremidad D en C, o pie supuesto, por medio de lo cual obtenido el punto E, se le trazará desde el pie F, de la varilla la sombra.

45. Para encontrar la sombra de la piedra I'OKL, se consideran las dos esquinas OK, I'L como dos varillas, y se les encontrará la sombra del mismo modo que hízose con la CD: pero como a la extremidad de la IL no puede verificarse sino muy fuera del cuadro el punto de sombra, así es que se le pondrá solo la de dirección en el suelo; por lo que desde el punto G de la pared diríjase una recta al pie de luz, la cual señalará en la piedra el punto C', levántese allí una vertical a tocar la extremidad de la piedra en H, pásese por este punto la recta de determinación, proveniente del centro de la llama, a cortar la GM en M; y como la cara I'OH del prisma es paralela a la de la pared MN, así es que basta tirar desde M una recta al punto de concurso hasta el ángulo de la pared N; hágase con OK lo que se hizo con C'H y obtenido el punto P se conducirá desde este a N la sombra.

46. Si la cara de la pared no fuese paralela a la del prisma, entonces a más del punto M, se necesitaría buscarle otro para poderle dirigir la sombra.

47. Para encontrar la sombra de la escalera, en un punto cualquiera de la orilla del primer escalón, se baja una perpendicular hasta el plano del segundo, evitando que haga una misma línea con la de la vela, a fin de que pueda verificarse la intersección de la línea de dirección con la de determinación, y bajando el pie de luz al nivel de dicho plano, se encontrará su sombra lo mismo que a la varilla CD: y pasando por el punto obtenido la sombra hasta señalar en el lateral el punto Q, desde cuyo punto se continuará acabándola en R. Si la dicha orilla no fuese paralela al plano en que se baja la perpendicular, será preciso bajar otra perpendicular, encontrarle su punto de sombra y pasando por los dos puntos dirigirla hasta el lateral, acabándola   —34→   como antes. De la misma manera se obrará para encontrar la sombra de las otras gradas: cuidando de bajar el pie de luz a nivel del de la perpendicular, de cuya extremidad se busca la sombra.

48. La sombra del cilindro, se obtendrá, tirando desde el pie de luz dos rectas a tangentar la base del mismo, y otra que la corte pasando por el centro, prolongándolas hasta la pared desde donde se elevarán vertical e indefinidamente; en los puntos de tangencia como en el de intersección levántense verticales a la extremidad del cilindro, por cuyos puntos pasando las rectas de determinación, señalarán tres puntos extremos para trazar la curva de la sombra proyectada por la extremidad del cilindro.

49. Se hallará la sombra de la varilla ST bajando a su extremidad T, una perpendicular al suelo, y considerada esta como varilla se le encontrará la proyección de sombra producida por T en Z; y como la dicha vara reconoce con la pared un mismo punto de concurso, se dirigirá a él desde Z, trazándola hasta el ángulo de la pared, de cuyo punto se continuará la sombra hasta el pie S.

50. Si la vara estuviese puesta oblicuamente y de manera que la sombra proyectara también en el tejado como UT; se encontrará la proyección vertical de la misma en U'T' como si continuase el suelo (§ 20 parte 3.ª); se prolonga indefinido el ángulo ÑX de la pared, y desde el pie Ñ se tira una recta al de la llama; de la intersección J, que esta última hace con la proyección de la varilla, se levanta una vertical a tocarla en I, pasando por este punto la recta de determinación proveniente de la llama a herir la prolongación del ángulo en V'; diríjase a este último desde Z y U la sombra hasta tocar el tejado en Y y V, acabándola de trazar en el mismo guiándola de uno a otro de estos dos últimos.

51. La sombra de la viga 214, se conseguirá, poniendo en el punto 1, escogido a voluntad en la esquina 14, la vertical 12 que señala la altura de la parte proyectante, bajándola después hasta el suelo en 6, pasar en este punto la recta de dirección hasta la pared, elevarla en ella a tocar en el tejado, y desde allí conducirla al punto 2 cortándola en 3 con la recta de determinación que desde la llama pasa por el punto 1: diríjase la sombra desde 3 al punto de concurso hasta tocar la pared en 5, y desde este se continuará acabándola en 4. Si la esquina proyectante 1 4 no fuere paralela a la superficie del plano, se deberá encontrarle otro punto de sombra.

53. Habiendo varias luces se deberá; 1.º buscarles una a una la sombra que proyecta en cada objeto, según se enseñó en los precedentes párrafos de esta parte: 2.º observar las partes que están al abrigo de todo radio luminoso, en las cuales será lo más intenso de la sombra; 3.º adonde hieren todas al mismo tiempo, que será lo más claro.

54. Entre varias luces; dominara la más grande y viva; siendo todas iguales será la más cercana la que dominará al objeto, produciendo una sombra más dividida y fuerte que las otras: y siendo todas de igual fuerza y a la misma distancia del objeto, ejercerá cada cual, en el mismo, su dominio, en el punto en que sus radios le sean más directos.

55. Lám. 22.ª Sirva de ejemplo la piedra QNS iluminada por las luces A,B,C: buscada la sombra peculiar de cada una de dichas luces, señalando,   —35→   con las letras B' la producida por la luz B; con las A' la producida por A, y con C' la producida por C. Ahora la superficie C'OA'A' quedando al abrigo de todas las luces, será lo más intenso de la sombra; sigue inmediatamente en intensidad la A'A'A'O no recibiendo en su contra más que los radios ya débiles de C; menos intensa será la OC'C'A' recibiendo la luz de la vela A ya más cercana; más ligera, todavía será lo restante de la sombra B'B'B'B'C' disminuida por las dos luces A y C, que hieren al mismo tiempo. Viceversa la superficie Q de la piedra, como la parte del suelo que más se acerca a la vela B, es lo más iluminado recibiendo la luz directa y cercana de B, aumentada por A y un poco por C; la luz de C bañando todo el suelo, impide el rápido desvanecimiento de la luz que hubiera en él, ocasionado por los radios más y más indirectos de las luces A y B; la cara N de la piedra, recibe sólo la luz oblicua de A, y queda por eso muy débilmente iluminada, y menos todavía lo será la cara S, recibiendo sólo la indirecta y lejana luz de C.

56. Habiendo una luz de grande tamaño, como puede suceder en la erupción de un volcán, un incendio, una llamarada cualquiera; se deberán notar en ella los puntos extremos y considerarlos como si fueran velas; quedando reducida la sombra en aquel solo espacio que esté al cubierto de los radios, de todos los dichos puntos.

57. Lám. 23.ª Pero si en la misma se hallare un punto A notablemente más luminoso que lo demás se le encontrará la sombra, que será más o menos debilitada o borrada por la luz de los puntos extremos.

58. Esta luz siendo producida por la traslación extremamente rápida de un punto muy luminoso, nos hace parecer una raya más o menos caprichosa la que nos indica el camino recorrido en su violenta carrera. Para hallarle la sombra se encontrarán los puntos extremos como de sus ángulos principales considerando su sección luminosa una línea. Debiéndole indicar la dirección, se puede, y entonces, se hará dominar menos el punto de partida; advirtiendo de no marcar demasiado dicha degradación, porque destruiría el efecto de la instantaneidad.

59. Cuando en dichos efectos se debe introducir también la luz de la luna, ésta dominará más y más con su luz a los objetos, a medida que se alejan de la del fuego, como nos lo presenta la lámina 23.ª

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1. Espejo es la representación o reflejo de los objetos en las superficies lustrosas. El agua nos muestra continuamente ejemplos de esta clase; y su procedimiento es, hacer el ángulo de reflexión igual al de incidencia.

2. Una varilla; que baje verticalmente sobre de una agua tranquila, su ángulo de incidencia siendo recto, será recto el de reflexión; y por eso sé verá reproducida en ella del mismo tamaño: si dicha varilla se pone sobre de una corriente, la cual siendo inclinada, su ángulo de reflexión será repetido igual al de incidencia, y como no es recto, sé verá disminuida su imagen y plegada por delante o atrás.

3. Lám. 24.ª Puesto el observador en V, y el plano horizontal de agua FP, sobre del cual cae la vertical AB, de la que llamo extremidad el punto A y pie el punto B: el ángulo de incidencia, ABP siendo recto, debe por consiguiente ser igualmente recto el de reflexión PBB'; inclínese en GG' el plano de agua, el mismo ángulo obtuso de incidencia ABG, será repetido en el de reflexión GBH; inclinando el plano de agua en II' la vertical AB, aparecerá en BL, formando el ángulo reflejo IBL igual al incidente ABI' finalmente inclinándola en EC, el reflejo de la vertical AB quedando en BF, no se verá de ella ningún espejo.

4. Mirando el observador V, el espejo BH de la varilla AB, producido sobre el plano de agua G'G, lo verá del tamaño NB: si dicha persona levanta su punto de vista en V', el espejo se verá disminuido en MB; por lo contrario, si se baja en V' el punto de vista, aumentará el espejo viéndose del tamaño BO.

5. Obsérvese que el ángulo PBG formado por el plano inclinado del agua GG' con el horizontal FP y el otro B"B'H' son iguales; y el ángulo HBB' que hace la vertical BB' con el espejo BH es doble de los primeros e igual a LB'H': que la recta B'L es perpendicular a BH; que las B'B" y BG son paralelas entre sí; y que poniendo una recta de la extremidad A a la del espejo, será siempre perpendicular a la superficie del agua, quedando dividida por en medio, de esta última, que le hace de normal.

  —38→  

6. Lám. 25.ª Para encontrar el espejo de la varilla vertical E2A2, desde el punto de contacto de la misma con el agua o pie, se repite igual y verticalmente en A2C2 y será su espejo. Del mismo modo se encontrará el espejo del edificio B3C3 considerando todas sus esquinas como la varilla vertical A2E2.

7. Si la varilla en lagar de vertical fuere oblicua al plano de agua como B2E2, se bajará a su extremidad la vertical E2A2 hasta tocar el agua, y tratada esta como varilla se trazará desde la extremidad reflejada C2 al pie B2, el espejo.

8. Queriendo el espejo de la varilla G2F2, que no cae inmediatamente en el agua, se deberá prolongar la misma bajándola hasta su nivel en I2: repítase la extensión I2G2 verticalmente en I2L2, hágase lo mismo poniendo H2 K2 en H2L3 y se tendrá en L2M2 la parte visible del espejo deseado.

9. En este caso, de la extremidad del objeto poniendo una perpendicular a la superficie del agua y repitiéndola igual del otro lado, se tendrá la extremidad reflejada desde la cual se trazará el espejo al pie del objeto.

10. Igual y aún más fácilmente, se obtendrá, bajando desde la extremidad una vertical al agua repitiendo el ángulo que hace con la superficie de la misma, y nos dará la extremidad reflejada, desde cuya extremidad se conduce al pie del objeto el espejo.

11. Siendo accidental la superficie del agua como en la vertiente OBM, en la cual debe hallarse el espejo de la varilla AB, se deberá 1.º encontrar la proyección vertical en C de la extremidad en la vertiente, de cuyo punto se tirarán dos rectas horizontales e indefinidas CK y CO, siguiendo esta la dirección de la proyección vertical de la varilla y aquella paralela al horizonte, poniendo también, desde C, otra recta que trace la proyección vertical de dicha varilla sobre la superficie del agua, voluntariamente extensa en E, de donde bajada la vertical en EO, nos dará en CEO el corte perspectivo y vertical de la corriente: 2.º hallar la postura geométrica de la recta CO en CQ, cuya dimensión se coloca de C en K, póngase la vertical KH cortándola perspectivamente igual a OE (mediante la recta EH, proveniente como OK del punto P''; y puesta la CH, se tendrá el corte geométrico CKH igual al perspectivo CEO: 3.º fijar en C el compás y describir con el radio CA el arco indefinido AJ, mídase el ángulo ACI repitiéndole igual en ICJ, póngase el seno JL y dirigiendo de L a P", una recta cortará la CO en G, en cuyo punto bajada la vertical GM y cortada perspectivamente   —39→   igual a LJ tendremos en M la apariencia reflectada de la extremidad A, desde donde se trazará al pie B el espejo propuesto⁸.

13. Si la varilla en lugar de tener su pie en B lo tuviese en N; reencontrará la proyección vertical de la extremidad en A como si el agua siguiese horizontal, repetir verticalmente la extensión AÑ en ÑS, poner en N y S la regla trazando hasta T la porción de espejo perteneciente a la superficie horizontal: Bájese AÑ hasta tocar la superficie inclinada en C, y repitiendo lo que se dijo en el párrafo anterior para obtener el punto M; desde U levántese una vertical a tocar en V la varilla, hágase con UV lo que se hizo con AC, y encontrado el punto X, se apoyará en él la regla y en M trazando la otra parte de espejo hasta encontrar en Y la esquina de la vertiente.

14. La proyección de AN, en el agua; se encuentra trazando del punto de proyección C una recta a P", punto de concurso de la superficie BÑM, la que señalará el punto V2; levántese allí una vertical que se determinará en Z' igual a la altura del nivel superior del agua, con una horizontal paralela a la dirección de la misma; desde Ñ' póngase una paralela a V2C señalando el punto Ñ; apóyese en este y en N la regla trazando NU, y desde U la parte UC, y se tendrá en CUN la deseada proyección.

15. Para encontrar el espejo de la varilla V'Z en la superficie L'26 inclinada paralelamente al horizonte, se tira desde el punto principal pasando por el pie Z una recta a tocar el ángulo de la vertiente en 3, se pone de este punto una recta paralela a la inclinación del agua con dirección al principal hasta herir la ZV' en B' con cuyo punto se obrará igualmente que con el punto C, (véase el § 12) pero como el punto B estando tan cerca del horizonte, no podría efectuarse con exactitud la intersección como verificose en G mediante la GL con la CO (§ 12), se procederá en el modo que sigue.

16. Hallándose el punto B' muy cerca o en el mismo horizonte como en el caso presente, se trasfiere a voluntad más arriba o más abajo, siempre en la misma vertical, por ejemplo en E'; pónganse en este punto las dos rectas horizontales indefinidas, una directa al principal o perpendicular a la sección horizontal de la vertiente, y la otra paralela al horizonte, trazando del mismo E' otra paralela a la inclinación del agua voluntariamente extensa en L'; esta se obtiene, bajando de 3 una vertical indefinida, poner en E'2' la extensión B'Z, y pasando en 2' una recta proveniente de P cortar en 3' la dicha vertical, y se tendrá en 3'E' la deseada inclinación, que se continuará en L' como dije; póngase en E' el compás y abierto igual a la extensión B'V' se traza una buena porción de círculo B'J' y una vertical en H', condúzcase de H' una recta a la distancia, de la intersección N' póngase la vertical N'L', pásese en M' una recta proveniente de la distancia a determinar H'I', y puesta I'E' tendremos el corte geométrico del agua igual al perspectivo N'EL'; repítase el ángulo B'E'I' en I'B'J', póngase el seno J'F', y de F' una recta a la distancia; de la intersección 4 bajada una vertical indefinida, y cortada perspectivamente igual a F'J' mediante otra recta de J' a la distancia, tendremos en 5 el espejo de B'. Pero no siendo B' sino V' la verdadera extremidad, se prolonga 54 y se corta en 1, con una recta   —40→   dirigida de B' a P, y trasferida de 1 en 6 la dimensión 4 5 tendremos en el punto 6 el verdadero espejo de V'; desde el cual se dirige a B' el espejo, trazándole hasta tocarla esquina del agua; acabando con trazar verticalmente la parte de espejo Z2 en la superficie de agua horizontal.

17. Muy expedito será el hallar el espejo de la varilla N'Ñ' en la superficie inclinada directa al punto principal, no debiendo más que repetir geométricamente el ángulo de incidencia P'N'Ñ' en el de reflexión P'N'O', y se tendrá en N'O' el espejo. Si fuere la varilla Q'Ñ' se encontrará la apariencia como si siguiera horizontal el nivel del agua; según el párrafo 7, trazando el espejo desde el pie hasta la inclinación del agua; bajar en un punto de la varilla una vertical R'S' a tocar la superficie de la misma repitiendo con ella lo que se hizo con N'Ñ', y obtenido el punto T' se apoya en él la regla y en O', trazando el espejo O'T' hasta alcanzar la esquina del agua.

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1. Así se llama la desviación que sufren los radios visuales, penetrando de un fluido en otro de diferente densidad pero trasparente.

2. Continuamente presenciamos este efecto, particularmente en el agua, en la cual, sumergiendo parte de una varilla parece quebrarse y disminuir en su longitud; y un objeto puesto en un vaso cuyas paredes sean opacas y no le alcancen los radios visuales, le veremos aparecer echándole cierta cantidad de agua, y a medida que se va llenando parecerá levantarse con todo el fondo. Me limitaré a tratar, sobre este efecto, la parte que tiene más inmediata relación con la pintura, aplicándole al mismo tiempo las reglas de la perspectiva, dejando aquello que no es de absoluta necesidad y puede hallarse en los tratados de óptica.

3. Cuando el radio visual es perpendicular a la superficie del agua en que penetra no hay refracción, pero sí, siéndole oblicuo, el cual dejando su dirección primera se aproxima a la perpendicular, haciendo con la misma un ángulo mitad del que haría si continuara directo. De manera que, sufrirá el máximo de la refracción, siéndole paralelo, y el mínimo si perpendicular.

4. Sumergiendo un objeto paralelamente no varía en dicho sentido su extensión, sino en el perpendicular, que siendo una vara cilíndrica parecerá aplastada. Sumergiéndola perpendicularmente no plegará a ningún lado, pero será disminuida al máximo su longitud; y eso por el efecto de la desviación de los radios visuales (véase § 1.º y 3.º): inclinándola a uno u otro lado se verá doblarse la parte sumergida como si tuviese articulación hacia la superficie del agua, plegando y aproximándosele más y más conforme se baje el punto de vista y viceversa.

5. Lám. 26.ª—En una varilla como AB que se sumerge en el agua deben distinguirse las siguientes partes: 1.º, el punto E que es adonde toca o hiere la superficie del cuerpo trasparente, le llamo pie; 2.º la parte fuera del agua cual es AE, parte exterior, cuyo remate A le nombro extremidad; 3.º, la parte en el agua considerada geométricamente como EB, parte sumergida, y extremidad sumergida en donde acaba; 4.º a la parte disminuida, por el efecto de la refracción como EI, parte y extremidad refractada.

6. Dos cosas muy esenciales hay que cuidar y son: la altura del ojo o ángulo visual y postura del objeto; cada cual necesita de ser examinada particularmente y con la lámina delante.

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7. Sea DC superficie de agua, AB una varilla sumergida a la mitad, y V el punto de vista; el radio VP hiriendo en E la superficie del agua deja su dirección acercándose a la perpendicular EB en ET mitad del ángulo BEP; póngase en B la punta del compás y abierto en T hágase el arco TI, que limitará en EI la parte refractada: bájese en V' el ojo, y la dirección del radio V'U variará penetrando el agua dirigiéndose en S y dividiendo en medio el ángulo UEB, con el intervalo BS descrito el arco SH establecerá en EH la parte refractada de la varilla: bajándole en V2 y repitiendo lo de antes, la veremos refractarse en GE: en EF bajando el ojo en V2 disminuyendo más y más la parte refractada bajando el punto de vista, reduciéndose finalmente a un punto observada de V4; porque trazando el arco con el intervalo BO nos señalará el punto E en la superficie.

8. Sea la misma varilla AB observada desde V la cual quedó como vimos reducida en EI, sin plegar a ningún lado por ser perpendicular a la superficie del agua; encuéntrese en la línea AB el centro de los puntos D e I, que practicando según el § 56 de la parte 1.ª, resultará en 1, póngase allí el compás trazando el arco ID el que llamo determinador; ahora muévase la varilla en KL dejando firme el punto E, de la extremidad sumergida levántese una perpendicular LL' a la superficie del agua, la cual cortando dicho arco en Q nos dará en QE la parte refractada. Moviendo en MÑ la varilla, y puesta a la extremidad sumergida la perpendicular MM'; dará en O la extremidad refractada, y en OE su apariencia. Bájese en V' el punto de vista y practicando como antes se tendrá el arco determinador en DH y la apariencia refractada en EN, y la de la EM en ER: bajado todavía más en V2 el ojo, se verá la primera refractarse en EX y la segunda en EJ y tendremos finalmente, refractadas en ZE la parte EL y en YE la EM mirándolas desde V3⁹.

9. Lám. 27.ª—Sirva de ejemplo la varilla QQ' oblicua a la superficie horizontal de agua, y sumergida en ella hasta la mitad; cuya inclinación cae sobre la recta GQ' directa a P punto principal, siendo D el de distancia. Por el pie O háganse pasar las rectas indefinidas I'L, OR, y OF, la primera paralela al horizonte, proveniente de P la segunda y la última vertical; póngase otra vertical que pase por P: de la extremidad sumergida Q' levántese la vertical Q'R, encuéntrese en OI' la dimensión geométrica de OR, poniéndola   —43→   de A en Z, y la OF verticalmente en ZD'; hágase centro A describiendo con el radio AD' el círculo CLM, y apoyada en A la regla y en D se traza DB, que representa el radio visual, y dividido en medio el ángulo MAB, mediante la recta AA' hasta tocar la tangente MA', paralela a la superficie del agua, póngase en MB' la dimensión MA', y hallado en la MP el centro de los puntos B' y L, se traza el arco determinador LB', y tomada la dimensión ZU se pone en OV, y pasada por V una recta proveniente de P señalará en T la extremidad refractada, desde la cual se traza en O toda la parte igualmente refractada¹⁰.

9A. Moviendo en Z'I la varilla sin minorar ni aumentar la porción sumergida, ni los grados de su inclinación con la superficie del agua, sólo que la proyección vertical en lugar de caer sobre GQ' caiga con otra dirección por ejemplo: sobre de IF', la que reconoce K; levántese de la extremidad sumergida la vertical, y desde K una recta pasando en V, la que señalará en S la extremidad refractada. Pero si el tamaño de la parte sumergida OI hubiese sido mayor o menor, aunque con la misma inclinación de QQ' con la superficie del agua, habría sido menester trazar otro círculo, siendo más grandes o más chicas las dimensiones OI', OF, y por consiguiente otro arco determinador para obtener la extensión proporcional de OV; repitiendo desde la primera hasta la última las operaciones practicadas con la dicha QQ' para encontrarle la parte refractada OT.

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1. Bajo este nombre se entiende la modificación que sufren las luces, sombras y colores de los objetos por la interposición de la atmósfera que media entre ellos y nosotros.

2. Como se ve en la naturaleza una disminución continua, y en degradación del tamaño de los objetos a medida que se alejan de nosotras, hasta que concluyen en puntos invisibles y desaparecen; del mismo modo, pero con causas muy diferentes, sufren en la fuerza del claro y oscuro la brillantez de los colores, hasta confundirse completamente. La primera depende de los radios visuales; y la segunda de la atmósfera, que interponiéndose entre nosotros y los objetos, hace que estos, perdiendo sus propios colores, tomen más o menos el de la atmósfera que los circunda.

3. La disminución lineal termina constantemente en el horizonte, pero la aérea unas veces acaba cerca y otras lejos, según la mayor o menor densidad de los vapores de que está cargado el aire; y por esto cuando la atmósfera está pura, vemos los objetos a grandes distancias; más cuando nos envuelve una densa neblina, desaparecen los colores y aún los objetos más cercanos. Cuando está diáfano el aire la perspectiva aérea acompaña muy bien el orden de la disminución lineal, y entonces es cuando tenemos más luz, viveza, y variedad en los colores, cuya degradación progresando con suave delicadeza, nos conduce insensiblemente a las distancias más lejanas.

4. La atmósfera varía también de aspecto según su posición relativamente al sol, por el cual vienen iluminados sus átomos, ya de frente, o detrás, y por eso produce su interposición varias modificaciones, según la hora, lugar y día.

5. Siempre es la atmósfera más densa en las partes bajas que en las altas, y por eso vemos el sol tan anaranjado y su luz más débil al levantarse como al ponerse. Por esta misma causa es, por lo que estando el sol muy bajo y de frente, vemos el cielo de un amarillo rojizo inmediato al horizonte, el cual va tomando un color más claro y limpio elevándose, hasta que vuelve al azul; y viceversa, veremos el cielo aclararse cuanto más se aproxime al horizonte teniendo el sol a las espaldas. En el primer caso es que los radios visuales tienen que atravesar una cantidad de atmósfera iluminada detrás o por trasparencia; mientras que en el segundo atraviesan la que está bañada directamente. No de otro motivo depende el ver anaranjada y tan grande la luna al salir del horizonte, la cual va tomando su verdadero tamaño y color plateado a medida que se levanta.

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6. Lám. 28.ª—Fig. 1.ª En esta figura se ve el corte longitudinal del país EA, el cual he dividido en ocho partes iguales. El punto E será el máximo de la fuerza, teniendo casi nada de atmósfera interpuesta que lo disminuya; en el punto 1, quedará disminuida ya una octava parte la brillantez de los colores y la fuerza del claroscuro; en el punto 2, será disminuida dos octavas partes, teniendo interpuesta toda la atmósfera de E a 1 y de 1 a 2; se verá disminuida tres octavas partes en el punto 3; cuatro en el punto 4, medio de la degradación; al 5 será cinco octavas partes más débil; seis octavas en el punto 6; en el punto 7, siete octavas; acabando con el punto 8, en el cual se ven las cosas indicadas con la máxima ligereza y confundidos en uno mismo los colores, quiero decir, el de la atmósfera.

7.—Fig. 2.ª Luego obsérvese el mismo trecho de país con el aire más cargado, así que sea de una tercera parte más denso que en la figura primera: esta atmósfera no permitirá ver más lejos del punto B, un tercio menos que EA, siguiendo la degradación de uno a otro número de la misma manera y orden que se explicó en la figura primera.

8.—Fig. 3.ª Supóngase dos tercios más denso el aire que en la figura primera, y no se verá más adelante de la extensión EC, repartiéndose en este espacio toda la degradación como en la citada figura.

9. Entre los colores el blanco es aquel que conserva más su viveza, y por eso vemos en las lontananzas los puntos luminosos de los edificios blancos: todos los otros colores quedan más o menos prontamente vencidos por el de la atmósfera.

10. Infinitas son las variaciones de efectos que ofrece la atmósfera; pero inoportuno sería entregarnos aquí a ejemplos y observaciones más extensas; sin embargo, habiendo expuesto los principios generales en que descansan, hay lo bastante a fin de que sirva al joven artista como de llave para penetrar, entender y reproducir con menos dificultad, lo que le enseñará con su maravilloso lenguaje el gran maestro, la naturaleza, cuando está delante de ella, lleno de animación, con los pinceles y la paleta en la mano.