60. Hemos entrado en todos estos pormenores concernientes a la operación de Pensilvania, porque los problemas geométricos y analíticos que nos ha dado ocasión de resolver, se repiten en todas las medidas de arcos meridianos verificadas por procedimientos más complejos. De manera que las fórmulas que le hemos aplicado se adoptarán bajo su literal forma a todas las operaciones de esta clase que tengamos que considerar ulteriormente. Porque éstas no se diferencian de aquélla si no por las naturales dificultades que les añaden las menos favorables circunstancias de las localidades. Concíbese en efecto que un procedimiento de medición directa, posible en un país deshabitado como lo era entonces la península en que Mason y Dixon operaban, sería enteramente inaplicable en nuestra Europa, donde el terreno está cubierto de ciudades, pueblos y edificios públicos y particulares. Los astrónomos se han visto obligados, pues, a llegar al mismo fin por un método diferente; recurriendo al procedimiento de que se hace uso en el levantamiento de planos para medir la distancia de los objetos observándolos desde los dos extremos de una base conocida, y sirviéndose de él para extender sobre la superficie terrestre grandes triangulaciones dirigidas en el sentido del mismo meridiano. Como aquí entramos en la realidad, se hace preciso tomar todos los conocimientos anteriores en el estado en que existan, y ayudarse de ellos si fuere necesario. Las cartas geográficas indican en su consecuencia con mucha aproximación la serie de lugares, pueblos, montañas y llanuras que se encuentran en la dirección de un meridiano dado. Habiendo pues adoptado un punto de partida se escoge en las respectivas al sitio en que se opera una serie de puntos situados de uno y otro lado del meridiano de aquél, y a poca distancia entre sí; de tal modo que desde cada uno de ellos se pueda ver a cierto número de los anteriores o de los siguientes en la cadena de triángulos que se quiere establecer, salvo el rectificar estos primeros ensayos con otras elecciones, si un examen más inmediato de las localidades hiciera reconocer dificultades o imposibles que no se hubiesen previsto. Las estaciones adoptadas de esta manera serán por su destino mismo cúspides de montañas, de colinas, de edificios públicos que sobresalgan por encima de los obstáculos que pudiesen obstruir la visión intermedia. También se necesita que las rectas que los unan no hagan entre sí ángulos demasiado agudos, a fin de que los lados de los triángulos que están destinados a formar, y que deben deducirse unos de otros, estén exentos de las incertidumbres que en ellos introduciría aquella circunstancia. Establecido este plan, el observador se transporta sucesivamente a los tres vértices del primer triángulo (fig. 12) designados por S, SI, S2. Coloca en ellos señales fijas, que son, por ejemplo, grandes discos blancos de centro negro, o también lámparas de corriente de aire guarecidas debajo de una tienda, y provistas posteriormente de reflectores metálicos traseros que se vuelven sucesivamente hacia las otras estaciones desde donde se quiere observarlas. Las señales deben estar invariablemente fijadas en fuertes apoyos, y se determina con gran cuidado el pie de la vertical que pasa por su centro de visibilidad. Veríficase esto con el auxilio de una plomada que se hace descender desde este centro sobre una plancha metálica horizontal, conducida por una estaca hundida en la tierra, y sobre esta plancha se marca el punto preciso en que viene a caer la vertical del centro de la señal. Llámase este punto el centro de la estación, y a él se refieren todas las observaciones de las señales cual un vértice fijo del primer triángulo, así como de los ulteriores a que sea común esta estación. Hechas estas preparaciones, el observador se establece en la primera estación S con el instrumento que le sirve para medir los ángulos visuales. Si puede, coloca el centro del limbo en la vertical SN que pasa por el de dicha estación, o si obstáculos naturales se oponen a ello, lo cual es muy frecuente, lo suple por pequeñas reducciones de cálculo que explicaremos en su lugar: en términos que las observaciones deban siempre suponerse hechas en la misma vertical del centro S. Cuando el instrumento empleado es un círculo repetido portátil, el observador mide primeramente el ángulo plano a comprendido entre las señales SI, S2, o más bien entre sus imágenes refractadas SI, S2, según las ve al través de la atmósfera interpuesta; e inmediatamente después, o en circunstancias atmosféricas en cuanto sea posible semejantes, mide también las distancias aparentes zI, z2 de estas imágenes a su zenit Z. Las rectas SS1, SS2 tiradas desde S a ellas, son las últimas tangentes de las trayectorias luminosas que, saliendo de los puntos SI, S2 son traídas en S al ojo del observador por la refracción. Discrepan pues de las rectas visuales directas SSI, SS2, que se tirasen desde S a estos puntos al través del vacío, estando generalmente algo más elevadas, y algunas veces sin embargo, un poco más bajas que estos rayos directos. Pero a menos de que ocurran accidentes muy raros, que siempre indica una excesiva desfiguración de las imágenes, y durante los cuales se tiene cuidado de no aventurar las observaciones, las dos trayectorias luminosas salidas de S1, y S2 se forman en los planos ZSS1, ZSS2, que pasan por estos puntos y la vertical del punto S; de forma, que el ángulo oblicuo S1 SS2, o a, comprendido entre las tangentes extremas SS1 SS2, está entonces limitado constantemente por estos mismos planos.
61. Para ver el uso que puede hacerse de estos resultados, supongamos primeramente que las distancias zenitales z1, z2 de ambas tangentes, y el ángulo a que comprenden, hayan sido medidas simultáneamente, o en estados regulares y rigorosamente idénticos de la parte de atmósfera interpuesta, lo que tendrá las mismas consecuencias. Podrá deducirse de aquí el ángulo diedro A comprendido en derredor del zenit de S entre los dos planos S1SZ, S2SZ tirados por las dos señales y la vertical de este punto. En efecto, desde el punto S como centro y con un radio arbitrario, descríbase idealmente una esfera que corte a la vertical de S en Z, y en s1, s2, a las tangentes finales de las trayectorias luminosas sobre cuya dirección se ve a las imágenes S1, S2. Entonces en el triángulo esférico Z s1 s2 se conocerán los dos lados verticales z1, z y el lado oblicuo a. Se podrá, pues, inferir el ángulo diedro A formado en Z, porque estará ligado con los tres lados z1, z2, a, por la ecuación general.
(1) cos a = sen z1 sen z2 cos A+cos z1 cos z2,
o también
cos a = cos(z2-z1)-2sen zI sen z2 sen2 I/2A
Sustitúyase en esta expresión cos a y cos (z2-z1) por sus valores equivalentes 1-2 sen2 I/2 a, 1-2 sen2 I/2 (z2-z1): despéjese luego a sen2 I/2 A, y dará
sen2 I/2A = sen2I/2 a-sen21/2(z2-zI)/sen zI sen I2
o transformando el segundo miembro en productos para hacerle más propio para el cálculo logarítmico,
sen2 I/2A = sen I/2(a+zI-z2) sen I/2(a+z2-zI)/sen zI sen z2
que es la fórmula por cuyo medio se encuentran directamente los ángulos de un triángulo esférico cuyos tres lados se conocen. Pero este modo de obtener el ángulo A no es, ni con mucho, el más cómodo para la aplicación que nos proponemos; porque el cálculo absoluto que requiere debería hacerse con un rigor que llegaría a ser enojoso en la numerosa serie de operaciones que reclama una gran triangulación. Ahora bien, podemos llegar al mismo fin con menos cuidado y mayor seguridad, aprovechándonos de las más leves circunstancias especiales en que se hallan establecidos los triángulos. Efectivamente, estando como S las dos señales S1, S2, situadas sobre la continuidad de la superficie terrestre a alturas siempre muy pequeñas, comparadas con sus mutuas distancias, se hallan siempre angularmente muy cerca del plano horizontal geométrico de esta primera estación, lo cual hace muy poco diferentes de 90º a sus distancias zenitales z1, z2. Así el ángulo diedro A discrepa muy poco del ángulo plano a que es dado por la observación. Éste es el motivo por qué, en vez de buscar el valor absoluto de A por la fórmula directa que acabamos de establecer, se deduce más bien la diferencia A-a que se obtiene con mucha facilidad, y con una exactitud ilimitada, por medio de un desarrollo en serie. A-a se llama la reducción al horizonte. Para no interrumpir la cadena de las ideas que queremos aquí establecer, nos limitaremos a mencionar el primer término de su expresión que comprende su parte más influyente y la sola tal vez que sea necesario tomar en cuenta. Con el objeto de poner en evidencia la pequeñez de las elevaciones o depresiones accidentales en que las distancias aparentes z1 y z2 discrepan de 90º, introducimos estas diferencias como aditivas en el cálculo bajo la denominación de h1, h2, es decir, que hacemos en general
zI = 90º+hI; z2 = 90º+h2.
Si entonces nos paramos en el primer término del desarrollo, que hasta cuando h1 y h2 son ángulos muy pequeños, como casi siempre sucede, se tiene55
(2) A = a+2[sen2 I/2 a sen2 I/2(h2+hI)-cos2I/2a sen2 I/2(h2-hI)]R´/cos h2 cos hI sen a
El término correctivo de a se expresa aquí en segundos de grado como lo anuncia el factor R´´. Haciendo la pequeñez de los ángulos I/2 (h2+h1), fracciones muy reducidas a los cuadrados de sus senos, se ve que todo este término será siempre del orden de estos cuadrados, con tal que el denominador sen a, que también es una fracción, no tenga de suyo valores cuya tenuidad les sea comparable. Empero esto es lo que se cuida siempre de evitar eligiendo los tres vértices de cada triángulo, de modo que ninguno de sus ángulos a resulte demasiado agudo.
62. Cuando los ángulos h1, h2, son de tal manera pequeños, que pueden despreciarse las cuartas potencias de sus senos en la expresión del término correctivo de a, lo que casi siempre sucede, ésta se simplifica notablemente. Porque, en primer lugar, dentro de este límite de aproximación, los factores cos h2, cos h1 del denominador pueden sustituirse por la unidad. Luego, no entrando en el numerador los senos de los arcos I/2(h2+h1) y I/2(h2-z1) sino elevados a la segunda potencia, los pueden también reemplazar las relaciones de estos arcos mismos con el radio reducido a segundos, es decir, I/4 (h2+h1)2/R´´2 y I/4 (h2-h1)2/R´´2. Entonces desaparece una vez R´´ como factor común de los dos términos de la fracción; y queda
(3) A = a+I/2 [(h2+h1)2 sen2 I/2a-(h2-h1)2 cos2 I/2 a]/R´´ sen a
o también
A = a+I/4 [h2+hI)2 tang I/2 a-(h2-h1)/tang I/2 a)]/R´´
Esta fórmula basta en la generalidad de las aplicaciones geodésicas. Los valores de los ángulos h2, h1, introducidos en ella, deben evidentemente estar expresados en segundos de grado. Y prescindiendo de sus usos prácticos, es indispensable para esclarecer varios puntos importantes de teoría que se mantendrían oscuros sin su auxilio.
63. Vamos desde ahora a servirnos de ella para desvanecer una sospecha de incertidumbre que pudiera engendrar el procedimiento por el cual se determinan los elementos que sirven para calcularla. Hemos supuesto hechas las observaciones en un estado atmosférico regular en que las refracciones se verifican sin variación azimutal sensible. Es el caso más frecuente, y se evitan con facilidad las circunstancias en que pudiera sospecharse no era así. Empero hemos supuesto también que el ángulo plano a y los ángulos verticales h1, h2, aun medidos en circunstancias atmosféricas simultáneas o idénticas, y es prácticamente imposible atenerse con rigor, ni aun con certidumbre, a esta condición. Entonces se la suple repitiendo las observaciones en diferentes días, particularmente la del ángulo a, y se calcula el diedro A con el valor medio de los elementos obtenidos de esta manera, lo que los reduce con la suficiente aproximación a la condición ideal de la simultaneidad. Vese esto por la misma fórmula (2). Porque el valor de A, así calculado, sería completamente exacto, si los valores medios de los ángulos h1, h2, correspondiesen al mismo estado atmosférico que el valor medio de los ángulos a. Admitamos, como sucederá indudablemente, que esta identidad de estado medio no sea enteramente rigorosa; por lo menos, tendrá lugar aproximadamente en virtud del principio de las compensaciones. Entonces los valores medios de h1 y h2 discreparán sólo muy poco de los verdaderos, y como su influencia absoluta sobre el término correctivo es sumamente pequeña en las condiciones que hemos supuesto, una alteración muy leve de sus valores no podrá ocasionar en él sino variaciones insensibles. La experiencia confirma este raciocinio; porque, cuando se hace en la misma estación un gran número de medidas de los ángulos a, h1, h2 con las precauciones prescritas arriba para evitar los casos de muy grandes perturbaciones en la atmósfera, si se fraccionan los resultados en muchos términos medios que se correspondan, y se hace uso de ellos separadamente para el cálculo del ángulo diedro A por la fórmula (2), no se hallan entre sus valores más que diferencias tan pequeñas y accidentales, que están dentro de los límites de los errores de que no se puede responder en las observaciones con mayor cuidado hechas.
64. La reducción al horizonte no necesita ser calculada cuando se observa el ángulo entre los objetos con el instrumento llamado teodolito, cuyo tipo general se ha presentado en la figura 13. El plano de su limbo lleva unos niveles cruzados rectangularmente y cuyas indicaciones sirven para hacerle horizontal. Los dos adaptados a este limbo, uno inferior y otro superior, pueden recorrer su contorno de modo que comprendan todos los ángulos que se quieren medir; y tiene cada uno igualmente, un movimiento de giro poco extenso en un plano perpendicular a aquél, que permite apuntarlos sobre objetos situados a poca distancia sobre o bajo el horizonte, sin que él mismo deje de ser horizontal. Cuando se quiere tomar el ángulo comprendido entre dos señales S1, S2, (fig. 12) se dirige primero el anteojo inferior sobre un objeto fijo cualquiera que servirá de punto de atención, y se le afianza a su vez sobre el limbo por sus piezas de presión; en términos que se prevenga cualquier movimiento horizontal que éste pudiera tornar, ya asegurándose de que aquél se mantiene siempre sobre su punto de mira, ya haciendo girar con él horizontalmente al limbo para traerle a dicha situación, si se encontrase que el punto indicado no estaba ya bajo el hilo vertical de su retícula. Estando siempre así asegurada esta condición de inmovilidad, se dirige el anteojo superior sobre la imagen refractada de una de las dos señales por ejemplo, sobre S1, haciéndole mover en su plano vertical hasta alcanzarla, y se lee en el limbo la división a que corresponde entonces el nuñez de su alidada; apártasele luego hacia la imagen S2 de la señal S2, y después de apuntarle del propio modo sobre ella, se lee otra vez la división a que ha llegado su nuñez. El arco recorrido así sobre el limbo es evidentemente el ángulo diedro comprendido entre los verticales de los dos objetos, y por consiguiente nuestro ángulo Am que se obtiene así sin reducción. Pero para proporcionarse esta ventaja hay que someterse a depender de la horizontalidad del limbo, y también de la exacta perpendicularidad del movimiento del anteojo superior relativamente a su plano. A la verdad, la relación de estas dos condiciones puede confirmarse por medio de comprobaciones fáciles de imaginar; pero es menester no prescindir de ellas. El teodolito portátil se usa hoy mucho en Francia para las triangulaciones secundarias, lo que se debe a la exactitud de los procedimientos de división de nuestro hábil artista el Sr. Gambey. Con la misma clase de instrumento es como se ha ejecutado la triangulación general de Inglaterra, para la cual Ramsden había construido uno de grandes dimensiones y de una ejecución admirable. Pero las operaciones geodésicas de Francia y España han sido hechas midiendo con el círculo repetidor los ángulos oblicuos a, y determinando por el cálculo la reducción al horizonte según las distancias zenitales observadas de las señales. Este radio más penoso era indispensable en el estado de imperfección en que se hallaba entonces en Francia la construcción de los instrumentos astronómicos; y la seguridad de los resultados obtenidos a pasar de esta desventaja no debe sentir que se haya recurrido a él.
65. Cuando se han terminado las operaciones en la estación S (fig. 12), el observador va a hacer otras análogas a las otras dos estaciones S1, S2 que ha escogido para vértices de su primer triángulo terrestre. Mide igualmente en ellas los ángulos planos a1, a2, así como las distancias zenitales de las líneas visuales que los limitan, y de aquí deduce por el cálculo los ángulos diedros A1, A2 respectivos a cada uno de estos vértices, es decir, comprendidos como A entre los planos visuales tirados en las otras dos estaciones por las verticales S1 N1, S2 N2 que les son propias.
Para ver el uso que puede hacerse de estos resultados, supongamos primeramente que las tres normales se cortan mutuamente en un mismo punto C, como lo representa la fig. 14; entonces, desde este punto como centro y con un radio cualquiera CA. o R, descríbase una superficie esférica que cortará a las tres normales en A, A1, A2. Únanse estos puntos de dos en dos por arcos de círculos máximos, y se formará un triángulo esférico cuyos ángulos serán los diedros anteriormente determinados; de modo que, si se puede conocer además la longitud de uno de sus lados C, C1, C2, se obtendrán por el cálculo trigonométrico las de los otros dos.
Vengamos ahora al caso general en que las tres normales puedan no cortarse entre sí, ni aun de dos en dos. Entonces sobre la normal indefinida SN de la figura 12, tomemos un punto C para centro de una esfera que en este sitio sea osculadora (no importa en qué sentido) a la superficie terrestre regularizada, tal como la formaría la prolongación de los mares circundantes; y desde este mismo punto tiremos a las estaciones S1, S2 dos secantes, que suponemos forman sólo ángulos muy pequeños con las normales reales que allí corresponden. Esta condición será siempre asequible, si se limita suficientemente la extensión del triángulo terrestre SS1S2, y bastará sólo señalarle límites tales que aquélla se cumpla con certidumbre. Refiriendo esto a la fig. 14, se podrá todavía formar sobre la normal CS y las dos secantes un triángulo esférico cuyo ángulo en el vértice A sea el ángulo diedro determinado por la observación en S. Mas los otros dos ángulos estarán comprendidos entre los planos diametrales tirados por las secantes CS1, CS2, no por las normales. Ahora bien, si se designan estos ángulos respectivamente por (A)1 (A)2, decimos que en las circunstancias supuestas se podrá sin error sensible sustituirles los ángulos diedros A1, A2 observados en S1 y S2 en derredor de las normales reales, como anteriormente.
66. Para hacerlo ver, consideremos primeramente el vértice S1. Por el supuesto la secante CS, forma con la normal S1N1 un ángulo muy pequeño que designamos por a, y transportamos con las dos rectas que le comprenden al plano de la fig. 15. El vértice S1 reproducido de este modo es común a la secante y a la normal. Tiremos en S2 un plano perpendicular a esta última, y designemos su traza sobre el plano de la figura por la recta indefinida S1X, que formará con S1N1 un ángulo recto. Este plano contendrá al ángulo diedro calculado A1. Definímosle en él por las dos rectas S1T, S1T2 que le limitan en su posición real, tal como se la deduce de las observaciones hechas en S1, sobre las imágenes de las dos señales S, S2, refractadas cada una en su respectivo vertical tirado por la normal S1N1. Llamemos i al ángulo plano que la primera de sus ramas S1T forma con la traza SIX, de modo que la segunda SIT2 formará con esta misma traza el ángulo i+A1. Prolonguemos ahora a CS1 indefinidamente en el plano de la figura, lo que engendrará la recta CS1M. Las dos ramas del ángulo A1 son oblicuos a esta recta; y por lo tanto se encuentra él mismo fuera del plano tangente a la esfera de que es un radio CS. Luego si por CS1 se tiran dos planos diametrales que contengan a los lados S1, S1T2, comprenderán un ángulo diedro diferente de A1 y que designamos por A1´. Vamos desde luego a determinarle: será una verdadera reducción al horizonte, que se efectuará fácilmente por la fórmula general que hemos establecido, y de que necesitaremos después en un gran número de circunstancias análogas.
67. Al efecto, describamos en derredor de S1, como centro, una esfera de un radio igual a la unidad de longitud, y marquemos en x, t, t2, m, los puntos en que corta a las rectas indefinidas S1X, S1T, S1T2, S1M. Considerando a m como el zenit del vértice S1 sobre esta esfera, los ángulos m S1 x, m S, t1, m S1 t2 serán en ella respectivamente las distancias zenitales de los puntos x, t, t2. El primero m S1 x es patentemente 90º+w, una vez que el arco mx está en el plano de la figura. Así pues, la tenuidad supuesta de w le hará discrepar muy poco de 90º, y los otros dos se apartarán también, muy poco de este límite, porque si w fuese nulo, serían también iguales a 90º, toda vez que los puntos x, t, t2, se encontrarían todos tres en un plano perpendicular a la recta CS1M. Para hacer mérito de esta circunstancia, designemos estos últimos por denominaciones análogas, haciendo
m S1 x = 90º+w; m S1 t = 90º+q; m S1 t2 = 90º+q2
q y q2 pueden calcularse fácilmente. Con efecto, los triángulos esféricos mxt, mxt2 son evidentemente por nuestra construcción rectángulos en x; y como en cada uno de ellos se conoce el lado común mx o 90º+w, y el lado tx, o t2x que tienen respectivamente por valores a i e i+A1, se tendrán pues las hipotenusas mt y mt2 por las relaciones establecidas en el segundo caso de los triángulos esféricos rectángulos de Legendre, las cuales darán aquí
cos mt = cos mx cos tx, cos mt2 = cos mx cos t2x,
y sustituyendo en vez de los arcos los ángulos en el centro que subtenden,
senq = senw cos i, senq2 = senw (cos i+A1)
Dentro de poco nos será útil conocer también las inclinaciones de las mismas hipotenusas sobre el plano del ángulo A1, las cuales son los ángulos diedros mtx, mt2x, formados en los vértices t, t2 de nuestros dos triángulos. Los designamos por estas mismas letras, y como deberán también discrepar muy poco de 90º, hacemos
t = 90º+t t2 = 90º+t2
El mismo caso de Legendre aplicado a estos ángulos da
tang t = tang mx/sen tx, tang t2 = tang mx/sen t2x;
de aquí se saca
tang t = tang w sen i; tang t2 = tang mx/sen t2x
68. Suponemos que w es un ángulo muy pequeño; puede hacérsele tanto como se quiera aproximando suficientemente los tres vértices S, S1 S2, toda vez que sería patentemente nulo si se los aproximase hasta ponerlos en coincidencia. Hagámosle sólo de una pequeñez tal que pueda despreciarse el cubo de su seno. Esto será igualmente permitido para los ángulos q, q2, w, w2 del mismo orden que él, y cuyos valores quedarán además accidentalmente atenuados por los factores trigonométricos que multiplican en sus expresiones a sen w, o tang w. Entonces las relaciones de los senos y de las tangentes de estos pequeños ángulos podrán sustituirse en sus ecuaciones anteriores por simples relaciones de arco, los que dará
q = w cos i, q2 = w cos (i+A1)
t = 90º+w sen i t2 = 90º+w sen (i+A1)
69. Consideremos primero a q y q2, los cuales son las depresiones de las dos ramas del ángulo AI debajo del plano que fuese tangente en S1 a nuestra esfera osculadora. Poniéndolos en nuestra fórmula de reducción al horizonte, circunscrita a las depresiones muy pequeñas, nos dará el ángulo diedro A´I comprendido entre los dos planos diametrales tirados por estas ramas y la secante CS1M. Tendremos así
A´1 = A´2+I/2 w2[[cos i+cos(i+AI)]2 sen2 I/2A1-[cos i-cos(i+A1)]2(cos2 I/2 A1)/R´´ sen A1]
Y como las fórmulas trigonométricas dan las siguientes identidades:
[cos i+cos(i+A1)]2 = 4cos2(i+I/2 A1) cos2 I/2 A1;
[cos i-cos(i+A1)]2 = 4sen2(i+I/2 A1) sen2 I/2 A1;
y además
sen A1 = 2 sen I/2 A1 cos I/2 A1;
cos2 (i+I/2 A1)-sen2(i+I/2 A1) = cos(2i+A1).
sustituyendo estos equivalentes, y haciendo desaparecer los factores que son comunes al numerador, así como al denominador, queda simplemente
A1´ = A1+w2/2R´´ sen A1 cos (2i+A1).
Esto nos demuestra ya que el ángulo diedro A1´ no discrepará de A1 sino por una cantidad siempre menor que w2/2R´´´, toda vez que este coeficiente menguará además a causa de los factores trigonométricos que le multiplican, los cuales son esencialmente fraccionarios. Si pues restringimos suficientemente el triángulo terrestre SS1S2 para que w2/2R´´ sólo sea una fracción de segundo despreciable estos dos ángulos podrán sustituirse uno a otro en las aplicaciones en que hayan de entrar. A fin de apreciar los límites de amplitud de w que satisfagan a esta condición, supongámosle igual a 40´´; entonces w2 será 1600 - y por el de log R´´ tendremos56
log w2 = 3,2041200
log 2R´´ = 5,6154551
log (w2/2R´´´) = 3,5886649
de donde
w2/2R´´ = 0´´,0038776
Una fracción de segundo como ésta no es apreciable, ni con los instrumentos más precisos. Ahora pues, cuando hayamos llegado a determinar la figura general de la Tierra, tendremos siempre el medio de comprobar que en las amplitudes de superficie a que se circunscriben los triángulos geodésicos, y aun en aquellos que puede permitir la condición de visibilidad recíproca de las señales, los ángulos w son siempre mucho menores que 40´´; de modo que para todos estos casos los dos ángulos diedros A1, AI´, aunque geométricamente distintos, pueden usarse como iguales entre sí.
70. Mas esto no basta aún para resolver la cuestión práctica que nos hemos propuesto. Lo que nos importa conocer en el ángulo diedro (A)I que está comprendido en S1 entre los dos planos diametrales tirados por la secante CS1 y los dos vértices S,S2 vistos directamente desde este punto sin el intermedio de las refracciones. Dichosamente puede deducírsele de lo que precede, y probar que también es sensiblemente igual a A1 en las condiciones de restricción señaladas para el triángulo terrestre SS1S2.
Para ello supongamos que los dos vértices S,S2 pueden observarse directamente desde el punto S1 al través del vacío. Las rectas tiradas desde S1 a estos vértices, comprenderán entre sí un cierto ángulo plano a1, un tanto diferente del anterior; pero estarán situadas en los mismos verticales reales, donde se ha observado desde el mismo punto S1 a sus imágenes refractadas S, S2 al través de la atmósfera; una vez que la refracción supuesta regular no las hace salir sensiblemente de estos planos. Sólo que las ramas del ángulo oblicuo verdadero a1 resultarán teniendo entonces distancias zenitales 90º+h1, 90º+h2, diversas de las que habitualmente se observan en las ramas del ángulo oblicuo refractado. Empero las depresiones positivas o negativas h, h2 serán todavía muy pequeñas, y aun generalmente más pequeñas que las que, haciendo abstracción de su signo propio, se observan al través del aire. Si se introducen estos nuevos elementos en la fórmula que da la reducción al horizonte para depresiones así circunscritas, deberá reproducir patentemente el mismo ángulo diedro A1 que se ha inferido de las imágenes refractadas en los mismos verticales, es decir, que se tendrá bajo esta nueva forma
A1 = aI+I/2 [(h2+h)2 sen2 I/2a1-(h2-h)2 cos2 I/2a1/R´´ sen a1]
siendo aquí A el mismo que anteriormente.
71. Supongamos ahora que los mismos dos vértices S, S2, se observen desde SI igualmente al través del vacío, pero que os midan sus distancias zenitales a contar desde la secante CS1M de la fig. 15, en vez de medirlas, como ha poco, a contar desde la normal real. El ángulo plano comprendido entre las rectas directas tiradas a estos vértices será asimismo aI, como antes. Pero las distancias zenitales de sus dos ramas que designo por @, @2, se diferenciarán de las distancias zenitales verdaderas, y tendrán por ejemplo valores de esta forma
@ = 90º+h´, @2 = 90º+h2´
siendo h´ y h´2 distintos de h y h2. Entonces el ángulo diedro comprendido entre los planos diametrales tirados por estas ramas no será ya A1, sino que tendrá cierto valor (A)1, cuya expresión será
(A1) = a1+I/2[(h2´+h´)2 I/2 a1-(h2´-h´)2 cos2 I/2 a1/R´´ sen a1];
y así sólo discrepará de A1 por el influjo que en él ejerza la diversidad de las depresiones.
72. Para apreciar su efecto reproduzcamos los elementos generales de la fig. 15, en la fig. 16; mas con el objeto de no complicarla marquemos sólo la traza S1T del vertical verdadero que contiene a la rama directa S1S tirada en el vértice S, rama cuya depresión TS1S o h1 en este mismo vertical estará representada por el arco ts sobre la esfera descrita con el radio 1 en derredor de S1. Entonces el arco ms de la misma esfera puede estimarse casi sin cálculo y con una aproximación casi suficiente para nuestro objeto. Efectivamente, designándose por i el ángulo TS1X como anteriormente, hemos encontrado que el arco mt, o 90º+q de la fig. 15 tiene por valor a 90º+w cos i; y también que el ángulo formado en t por este mismo arco con el plano TS1X, contado hacia S1X, es 90º+w sen i. Añadiéndole 90º tendremos en nuestra figura 16 el ángulo diedro total formado en el mismo punto t del triángulo mts; de modo que el valor de éste, contado siempre en igual sentido, será 180º+w sen i. Así que en la construcción que nos sirve de tipo la disposición del triángulo mts sería tal como la representa la fig. 16 bis. Ahora bien, encontrándose el lado ms o @ del triángulo mts opuesto de este modo a un ángulo que discrepa sólo de 180º en un término muy pequeño del orden w, su longitud no se diferenciará de la suma de los otros dos lados del triángulo sino en una cantidad de un orden más pequeño todavía, puesto que su expresión, si se considerase necesario calcularla hasta los términos del orden w2, sería aquí -I/2 w2 sen h sen2 i. Admitiendo pues que se la desprecie, según esta evaluación o por la simple evidencia geométrica, se inferirá
@ = 90º+h+w cos i.
y por una analogía patente
@2 = 90º+h2+w cos(i+A1);
porque el ángulo oblicuo a1 debe siempre tener por proyección a A1 sobre el plano TS1X que es perpendicular a la normal real S1A1.
Los términos que se añaden a 90º en estas dos expresiones son los que es menester sustituir a h´, h´2 en la expresión de (A)1. Se tendrá pues
(A)1 = a1+I/2[{h2+h+w[cos i+cos(i+A1)]}2 sen2 I/2 a1-{h2-h-w[cos i-cos(i+A1)}}2 cos2 I/2 a1/R´´ sen a1]
en vez de que con las mismas condiciones de visibilidad directa se tenía
A1 = a1+I/2[(h+h)2 sen2 I/2 a1-(h2-h)2 cos2 I/2 a1/R´´ sen a1].
73. Estas dos expresiones sólo se diferencian por los pequeños términos dependientes de w que en la primera se aumentan a las depresiones verdaderas h1, h2. Si se desenvolvieran los cuadrados que ésta contiene, la diferencia resultaría compuesta evidentemente de términos que tendrían por coeficiente a w2, o a los productos de w por las depresiones verdaderas h y h2. Ahora bien, estas depresiones no son nunca más que de algunos minutos, y el ángulo w no pasa de un corto número de segundos; luego los términos de que se tratan serán siempre insensibles en la poca extensión que se da a los triángulos terrestres, y se confundirán con los errores de las observaciones. Su efecto será semejante a aquel que se produce cuando, habiendo medido el ángulo plano a1 en cierto estado de la atmósfera, se calcula la reducción al horizonte con depresiones observadas en un estado un tanto diferente, lo cual no ocasiona sin embargo alteración de alguna importancia. En su virtud, podemos admitir que, restringiendo, como se hace, los triángulos geodésicos, los ángulos diedros A1, A1, A2 medidos entre los planos verticales tirados por las normales verdaderas a los tres vértices del mismo triángulo, pueden usarse sin corrección alguna, como si fueran formados entre los planos diametrales de una misma esfera osculadora a la superficie terrestre en uno cualquiera de los tres vértices. Aunque la excesiva pequeñez del ángulo w en que estriba esta demostración no pueda probarse sino más tarde por consideraciones complejas, no implica círculo vicioso, porque bastará que justifique entonces este carácter que acabamos de atribuirle. Por lo demás, encontraremos de ello confirmaciones de hecho en el curso de las mismas operaciones geodésicas.
74. Esto supuesto, volvamos a la fig. 14. C designa en ella sobre la normal CS el centro de la esfera que, siendo osculadora en este sitio a la superficie terrestre regularizada, se asimila a ella con bastante aproximación y continuidad para que las secantes tiradas desde el centro a las estaciones S1, S2 formen sólo ángulos muy pequeños con las normales verdaderas. Si se corta a estas tres secantes por la superficie esférica descrita desde el centro C con el radio osculador local CA o R, los planos diametrales que las contienen aparcadas trazan sobre la superficie de la esfera un triángulo curvilíneo formado por arcos de círculos máximos que tienen por lados a estos mismos arcos AA1, AA2, A1A2; y por ángulos de los vértices a los tres diedros A,A1, A2 que se han determinado por la observación en derredor de las normales tiradas a estos tres vértices respectivos, suponiéndose la pequeñez de los ángulos w1, w2 tal que a los ángulos diedros comprendidos entre los planos diametrales que forman el triángulo esférico pueda sin error alguno apreciable suponérselos iguales a aquéllos. Si se llegase entonces a conocer la longitud absoluta de uno de los arcos AAl, AA2, AlA2, por una medición directa o por una operación trigonométrica que le enlazase con algún otro medido de este modo, se obtendrían las longitudes absolutas de los otros dos lados por el teorema conocido de que en todo triángulo esférico los senos de los lados son proporcionales a los de los ángulos opuestos. Porque suponiendo, por ejemplo, que se tuviese así el lado C opuesto al ángulo A, se deduciría.
sen C1 = sen C sen A1/sen A y sen C2 = sen C sen A2/ sen A.
A la verdad para resolver inmediatamente estas ecuaciones por las tablas de los senos, sería menester expresar el lado C en partes de la graduación de la esfera osculadora, estando ya dados bajo esta forma los ángulos diedros A, AI, A2 por los instrumentos que los miden, o por la fórmula que los deduce de los ángulos oblicuos a, aI, a2 y de las distancias zenitales así expresadas. Esto exigiría, pues, que se conociese la longitud D(º) que ocupa un grado de la división adoptada sobre el contorno de uno de los círculos máximos de esta esfera, y este conocimiento sería necesario también para obtener las longitudes absolutas de los arcos C1, C2 por los valores que el cálculo hecho con las Tablas les señale en el mismo sistema de graduación. Pero la parte principal de estas conversiones llega a ser inútil, si se supone, como es la realidad, que los arcos C, CI, C2 aquí considerados no tienen una longitud de más de 2 grados sexagesimales. Porque entonces las expresiones aproximadas que se conocen para expresar las longitudes absolutas de los elementos rectilíneos de un arco por la extensión que éste ocupa sobre la esfera, y recíprocamente son aplicables y suficientes57. Si se hace uso pues de ellas para desenvolver primero la expresión de uno de los dos lados buscados, por ejemplo, la de CI en función de su seno, cuyo valor es dado aquí; y luego se sustituyen en este desarrollo las potencias de sen C por sus valores en función del arco C, circunscribiéndose siempre a los límites de aproximación que comprenden dichas fórmulas, se encuentra
CI = C sen A1/sen A+I/6 sen A1 sen (AI+A) sen (AI-A)/sen3 A. C3/R2
Si se efectúa la misma transformación por las fórmulas logarítmicas análogas, se encuentra igualmente
log CI = log (C sen AI/ sen A)+k/6 sen (AI+A) sen (AI-A)/sen2 A. C2/R2
y
log C2 = log (C sen A2/ sen A2)+k/6 sen (A2+A) sen (A-A)/sen2 C2/R2
k es el módulo logarítmico directo cuyo valor es 0,4342944819 y el logaritmo tabular 1,6377843113. Estos valores de log. CI y de log C2 concuerdan en efecto con los que se deducirían directamente de las expresiones precedentes de CI y C2, circunscribiéndose a los mismos límites de aproximación. Ahora se ve que en estas expresiones se necesita sólo conocer el radio R de la esfera osculadora local para calcular los términos correctivos que se añaden a la parte principal del lado buscado; y esta parte es cabalmente la que se obtendría si se revolviera el triángulo A AIA2 como rectilíneo, en cuyo caso los senos de los ángulos A, AI, A2 no serían proporcionales a los senos de los lados opuestos, sino a estos mismos lados. Falta pues examinar si puede conocerse siempre el valor local de R con bastante aproximación para que sirva para calcular estos términos correctivos, los cuales son esencialmente muy pequeños por la poca extensión de los triángulos de vértices recíprocamente visibles que pueden formarse en la superficie de la Tierra.
75. Para ello anunciaremos anticipadamente que, cuando nos sea conocido el conjunto de la superficie terrestre por la comparación de las medidas de grados de meridiano verificadas en diferentes regiones muy distantes entre sí y hayamos establecido definitivamente de sus resultas la sucesión de las esferas osculadoras para toda la superficie, llegaremos a reconocer que las longitudes de sus radios R están comprendidos entre los valores siguientes, que expresamos en toesas:
el mayor en los polos R = 3283500t log. R = 6,5161783
el menor en el ecuador R = 3271867t log. R = 6,5147956.
Ahora, suponiendo en la fórmula que expresa las longitudes de los lados C1, C2 en función del lado C igual este a 100000t, lo que le da una extensión que no se ha presentado jamás en ninguna operación geodésica y sería muy difícil abrazar con señales recíprocamente visibles; calculemos en est concepto el coeficiente del término correctivo C3/6R2 con los valores aquí atribuidos a nuestros dos radios extremos, y encontramos:
Por el mayor radio C3/6R2 = 5,t47.
Por el menor . . . C3/6R2 = 5,t47
Así pues con estas suposiciones exageradas, tanto por la excesiva longitud atribuida al lado C como por la extremada desproporción de los radios R empleados en el cálculo del coeficiente que se considera, las dos evaluaciones que se obtendrían no se diferenciarían entre sí más que en 0,t1, cantidad de que no se puede responder, ni aun midiendo directamente tan grande arco; de modo que sería del todo indiferente la elección que pudiera hacerse entre estos dos valores del radio R. A la verdad no se pueden conocer estas evaluaciones precisas hasta tanto que se haya fijado definitivamente el sentido de osculación que quiere atribuirse a estas esferas, de donde resultan las posiciones locales de sus centros y las longitudes de sus radios sobre las diversas normales en que están situados. Pero sin temor de más sensible error pudiera sustituirles en este cálculo el radio de cualquiera otra esfera que ya se hubiese reconocido se aproximaba mucho a asimilarse a la esfera terrestre en una región cualquiera y sobre un arco de corta extensión. Por ejemplo, tomemos para el radio R el valor 3259442t que nos ha sido dado por la operación de Pensilvania como propio de un círculo que coincidiría en esta región con un arco del meridiano terrestre. Esta longitud será menor que la más pequeña que acabamos de atribuir a nuestras esferas osculadoras, como que no está sujeta a las mismas condiciones de posición de los centros desde los cuales se las supone descriptas58. No obstante, el coeficiente calculado para este valor de R en el ejemplo que acabamos de considerar, sería
C3/6R2 = 15,t69.
De forma que no presentaría respecto de las evaluaciones precedentes más que una diferencia enteramente despreciable. Podríase pues, a fin de excluir aquí toda apariencia de círculo vicioso, concebir que los términos correctivos de nuestras fórmulas se calculaban con este radio o con cualquiera otro que se hubiese obtenido por alguna operación análoga, sin necesidad de atribuirle ninguna relación con el sistema general y definitivo de nuestras esferas osculadoras, si no es que tiene, como ellas, la propiedad de seguir de muy cerca la curvatura de la superficie terrestre en cierto sentido sobre uno de sus puntos. Pero estando comprobado esto por la legitimidad del razonamiento, cuando se emprende en nuestros días una operación geodésica cualquiera, puédese sin círculo vicioso atribuir a las esferas tangentes en que se suponen establecidos los triángulos la distribución relativa de los centros y las longitudes de radios que se han reconocido como las más convenientes, según la que de si arroja masa de las operaciones efectuadas anteriormente ejecutadas en diversas partes de la Tierra. En términos que, operando así, se obtienen desde el primer momento los números definitivos a que conducirían las operaciones sucesivas59.